mini|desno|200px|Prvih 6 trokutnih brojeva Suma svih prirodnih brojeva 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, može se pisati i kao
je divergentan red; suma prvih n članova može se pronaći koristeći se formulom .
Iako na prvi pogleda red nema neku značajnu vrijednost, može se manipulacijom ovog reda doći mnoštva matematički interesantnih rezultata, koji, čak, imaju primjenu u drugim oblastima, kao što su kompleksna analiza i kvantna terija polja.
Dokaz formule za parcijalnu sumu
Dokaz da je sum prirodnih brojeva do n može se dokazati na mnoštvo načina. Najprije, neka je
Članovi se mogu pregrupisati i napisati od zadnjeg pa do prvog:
Ako saberemo ova dva, član po član, dobijamo:
Sumiranje i analitičko produženje zeta funkcije
Ramanujanova suma 1 + 2 + 3 + 4 + · · · iznosi −1⁄12.Hardy p.333
Kada je realni dio od s veći od 1, Riemannova zeta-funkcija od s jednaka je sumi . Ova suma divergira kada je realni dio od s manji od 1, ali kada je s = −1 tada analitičko produženje od ζ(s) daje ζ(−1) kao −1⁄12.
Također pogledajte
Beskonačni aritmetički red 1 − 2 + 3 − 4 + · · · 1 + 1 + 1 + 1 + · · · Trouglasti broj
Reference
Dalje čitanje
See pp. 65–6 on the Casimir effect. See p. 293.
Vanjski linkovi
This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147) Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1⁄12
Kategorija:Divergentni redovi Kategorija:Matematički redovi