Ovaj članak govori o Eulerovoj formuli u kompleksnoj analizi. Za članak o Eulerovoj formuli u altebarskoj topologiji i poliedričnoj kombinatorici, pogledajte Eulerova karakteristika. Također pogledajte teme nazvane po Euleru.
Eulerova formula, koja je dobila naziv po Leonhardu Euleru, je matematička formula u kompleksnoj analizi koja pokazuju duboku povezanost između trigonometrijskih funkcija i kompleksne eksponencijalne funkcije. Eulerova formula iskazuje da je, za svaki realan broj x,
gdje je e baza prirodnog logaritma, i je imaginarna jedinica, a cos i sin su trigonometrijske funkcije kosinus i sinus, sa argumentom x dat u radijanima (rijetko u stepenima. Formula vrijedi i kada je x kompleksan broj.
Richard Feynman nazvao je Eulerovu formulu "našim draguljem" i "najizvanrednojom formulom u matematici".
Istorija Bernoulli je oko 1702. zapisao
. i
Navedene jednakosti daju nam uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernoulli, međutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je također poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine. U međuvremenu je Roger Cotes 1714. otkrio da je
On nije uočio činjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonačno mnogo vrijednosti i to posljedično periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Oko 1740. Euler je obratio pažnju na eksponencijalne funkcije umjesto logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u čast. Formula
je objavljena 1748. i Eulerov dokaz formule je zasnovan na jednakosti beskonačnih redova obje strane izvoda.U to doba niko nije uočio geometrijsku interpretaciju formule, kao pogled na kompleksne brojeve predstavljene u kompleksnoj ravni. Tu vezu je ustanovio Caspar Wessel pedesetak godina kasnije. Primjene u teoriji kompleksnih brojeva Eulerova formula može se predstaviti na način da funkcija rotira oko koordinantnog početka kompleksne ravni pri čemu x prima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu je ugao što između duži, koja spaja koordinantni početak kompleksne ravnii s odgovarajućom točkom na jediničnoj kružnici, i pozitivne realne ose. Pri tome duž( vektor u kompleksnoj ravnini), rotira smjerom suprotno od smjera kazaljki na satu, a veličina ugla ourađava se u radijanima. Izvorni dokaz se zasniva na razvoju Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju i periodičnih funkcija i , gdje je kompleksni broj, a realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i za bilo koji kompleksan broj.
Eulerova formula omogućava prelaz iz prikaza kompleksnog broja u kartezijevim koordinatama u prikaz u polarnim koordinatama. Iskaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama pojednostavljuje složenije operacije s kompleksnim brojevima kao što su, množenje i stepenovanje, a iz razloga što se bilo koji kompleksan broj može zapisati kao
gdje je realni dio imaginarni dio apsolutna vrijednost ili veličina od ) zadan u radijanima.
Veza sa trigonometrijom Eulerova formula je veza između analize i trigonometrija, i daje tumačenje sinus i kosinus funkcija preko eksponencijalne funkcije
Izvode se sabiranjem ili Eulerove formule
rješavanjem po sin ili cos funkciji.
Ove formule mogu poslužiti kao definicije trigonometrijskih funkcija kompleksnog argumenta x.
Za imamo
Kompleksne eksponencijalne funkcije znatno pojednostavljuju trigonometriju jer je daleko lakše računati s njima nego sa sinusnim, odn. kosinusnim ekvivalentima. Jedan od načina je da se prikaz periodične funkcije jednostavno prikaže pomoću eksponencijalne funkcije. Primjer
Eksponencijalni oblik kompleksnog broja Preko redova
Preko limesa
Dokazi
Također pogledajte
Animacija o Eulerovoj formuli Eulerov identitet Kompleksan broj de Moivreova formula Eksponencijacija Eksponencijalna funkcija
Reference
Vanjski linkovi
Proof of Euler's Formula by Julius O. Smith III Euler's Formula and Fermat's Last Theorem Complex Exponential Function Module by John H. Mathews Elements of Algebra Visual Representation of Euler's Formula
Kategorija:Kompleksna analiza Kategorija:Matematičke teoreme Kategorija:Trigonometrija Kategorija:Matematička analiza