desno|mini|Ilustracija Bernoullijeve nejednakosti, sa grafikom i prikazanom crvenom i plavom bojim, respektivno. Ovdje je |436x436piksel U realnoj analizi, Bernoullijeva nejednakost je nejednakost koja aproksimuje eksponencijacije od 1 + x.
Nejednakost iskazuje da je
za svaki cijeli broj r ≥ 0 i svaki realan broj x > −1. Ako je eksponent r paran, tada nejednakost važi za sve realne brojeve x. Striktna varijanta ove nejednakosti glasi
za svaki cijeli broj r ≥ 2 i za svaki realan broj x ≥ −1, uz x ≠ 0.
Bernoullijeva nejednakost se često koristi kao bitan korak u dokaz drugih nejednakosti. Sama se može dokazati korištenjem matematičke indukcije, kao što je prikazano ispod.
Dokaz nejednakosti
Za
je ekvivalentna sa , što je tačno.
Sada pretpostavimo da je iskaz tačan za :
Tada slijedi da je
(po hipotezi, pošto je )
Međutim, kada je (pošto je), slijedi da je , što znači da je iskaz tačan za .
Indukcijom zaključujemo da je iskaz tačan za sve
Generalizacija
Eksponent r može biti uopćen u proizvoljni realan broj na slijedeći način: ako je x > −1, tada je
za r ≤ 0 ili r ≥ 1, i
za 0 ≤ r ≤ 1.
Ova generalizacija može se dokazati upoređivanjem derivacija. Ponovo, striktne varijante ove nejednakosti zahtijevaju da je x ≠ 0 i r ≠ 0, 1.
Vezane nejednakosti
Slijedeća nejednačina procjenjuje r-ti stepen od 1 + x u odnosu na drugu stranu nejednakosti. Za sve realne brojeve x, r > 0, imamo da je
gdje je e = 2,718...
Ovo se može dokazati korištenjem jednakosti (1 + 1/k)k < e.
Reference
Vanjski linkovi Bernoulli Inequality by Chris Boucher, Wolfram Demonstrations Project.
Kategorija:Nejednakosti Kategorija:Jacob Bernoulli