desno|mini| 52 relacije ekvivalentnosti u skupu s 5 elemenata, prikazano kao 5×5 logičkih matrica (obojena polja, uključujući ona u svijetlosivoj boji, predstavljaju jedinice; bijela polja predstavljaju nule.) Indeksi redova i kolona bijelih ćelija su povezani elementi, dok različite boje, osim svijetlo sive, označavaju klase ekvivalencije (svaka svijetlosiva ćelija je svoja klasa ekvivalencije). U matematici, relacija ekvivalentnosti je binarna relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna. Relacija "jednak je" je kanonski primjer relacije ekvivalencije, gdje za bilo koje objekte , i važi:
(refleksivno svojstvo), ako je onda je (simetrično svojstvo), i ako su i onda je (tranzitivno svojstvo).
Kao posljedica refleksivnih, simetričnih i tranzitivnih svojstava, bilo koja relacija ekvivalencije pruža particiju temeljnog skupa u odvojene klase ekvivalencije. Dva elementa datog skupa jednaki su međusobno ako i samo ako pripadaju istoj klasi ekvivalencije.
Notacija U literaturi se koriste različite oznake za označavanje da su dva elementa skupa i jednaka u odnosu na relaciju ekvivalencije ; najčešće oznake su "" i "", koje se koriste kada je implicitan, a varijacije "", "" ili "" da se eksplicitno odredi . Neekvivalencija se može označiti kao "" ili "".
Definicija Za određenu binarnu relaciju ~ u skupu X kaže se da je to relacija ekvivalencije ako i samo ako je ona refleksivna, simetrična i tranzitivna. To jest za sve a, b i c u skupu X:
a ~ a (Refleksivnost) a ~ b ako i samo ako je b ~ a. (Simetrija) ako su a ~ b i b ~ c, onda a ~ c. (Tranzitivnost)
X zajedno s relacijom ~ naziva se setoid. Klasa ekvivalencije od sa ~, označeno kao , je definirana kao .
Primjeri
Jednostavan primjer Neka set ima relaciju ekvivalencije . Onda su sljedeći skupovi klase ekvivalencije ovog odnosa:
.
Skup svih klasa ekvivalencije za ovaj odnos je . Ovaj skup je particija skupa .
Reference
Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8. Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433. Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory. Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint. John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31. Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10. Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.
Kategorija:Refleksivne relacije Kategorija:Tranzitivne relacije Kategorija:Simetrične relacije Kategorija:Ekvivalencija (matematika)