thumb| Tok u faznom prostoru određen diferencijalnom jednačinom klatna. Na horizontalnoj osi, položaj klatna, a na vertikalnoj njegova brzina. U matematici, tok formalizira ideju kretanja čestica u fluidu. Tokovi su sveprisutni u nauci, uključujući inženjerstvo i fiziku. Pojam toka je osnovni za proučavanje običnih diferencijalnih jednačina. Neformalno, tok se može posmatrati kao kontinuirano kretanje tačaka tokom vremena. Formalnije, tok je grupno djelovanje realnih brojeva na skupu.
Ideja vektorskog toka, odnosno toka određenog vektorskim poljem, javlja se u oblastima diferencijalne topologije, Rimanove geometrije i Lijeve grupe. Specifični primjeri vektorskih tokova uključuju geodetski tok, Hamiltonov tok, Riccijev tok, tok srednje zakrivljenosti i Anosovljev tok. Tokovi se također mogu definirati za sisteme slučajnih varijabli i stohastičkih procesa, te se javljaju u proučavanju ergodičkih dinamičkih sistema. Najslavniji od njih je možda Bernoullijev tok.
Formalna definicija Tok na setu je grupna akcija aditivne grupe realnih brojeva na . Eksplicitnije, tok je mapiranje
such that, for all i svi realni brojevi i ,
IUobičajeno je pisati umjesto , tako da se gornje jednačine mogu izraziti kao (funkcija identiteta) i (grupni zakon). Zatim, za sve the mapping je bijekcija s inverzom Ovo proizilazi iz gornje definicije, a realni parametar može se uzeti kao generalizirana funkcionalna potencija, kao u iteraciji funkcije.
Tokovi obično moraju biti kompatibilni sa matematičkim strukturama datim na skupu . Posebno, ako opremljen je topologijom, tada se obično zahtijeva da bude kontinuirana. Ako je opremljen diferencijabilnom strukturom, tada se obično zahtijeva da bude diferencijabilan. U ovim slučajevima tok formira jednoparametarsku grupu homeomorfizama i difeomorfizama.
U određenim situacijama mogu se razmotriti i lokalni tokovi, koji su definirani samo u nekom podskupu
called the of . This is often the case with the flows of vector fields, when these vector fields are not complete. In such cases, the group action properties can be described by the notion of groupoids or pseudogroups.
Alternativne notacije Vrlo je uobičajeno u mnogim oblastima, uključujući inženjerstvo, fiziku i proučavanje diferencijalnih jednačina, koristiti notaciju koja implicitno čini tok. Dakle, je zapisano za i moglo bi se reći da varijabla zavisi od vremena i početnog uslova . Primjeri su dati u nastavku.
U slučaju toka vektorskog polja na glatkoj mnogostrukosti , tok se često označava na takav način da je njegov generator eksplicitan. Naprimjer,
Orbite Dat je u , skup se naziva orbita od pod . Neformalno, može se smatrati putanjom čestice koja je inicijalno pozicionirana na . Ako je tok generiran vektorskim poljem, tada su njegove orbite slike njegovih integralnih krivulja.
Primjeri Algebarska jednačina Neka je vremenski zavisna trajektorija koja je bijektivna funkcija. Tada se tok može definirati kao:
Autonomni sistemi običnih diferencijalnih jednačina Neka bude (vremenski nezavisno) vektorsko polje i the solution of the initial value problem
Tada je tok vektorskog polja . To je dobro definisan lokalni tok pod uslovom da je vektorsko polje is Lipschitz-continuous. Tada ije također Lipschitz-kontinuiran gdje god je definiran. Općenito, može biti teško pokazati da je tok globalno definiran, ali jedan jednostavan kriterij je da vektorsko polje.
Vremenski zavisne obične diferencijalne jednačine U slučaju vremenski zavisnih vektorskih polja , ojedan označava gdje je rastvor od
Tada je vremenski zavisan tok . To nije "tok" prema gornjoj definiciji, ali se lako može shvatiti kao jedan preuređivanjem argumenata. Naime, mapiranje
zaista zadovoljava grupni zakon za posljednju varijablu:
Vremenski zavisni tokovi vektorskih polja mogu se posmatrati kao specijalni slučajevi vremenski nezavisnih tokova pomoću sljedećeg trika. Definirajte: Tada je rješenje problema početne vrijednosti "neovisnog od vremena"
ako i samo ako je rješenje originalnog vremenski zavisnog problema početnih vrijednosti. Nadalje, tada je preslikavanje upravo tok "vremenski nezavisnog" vektorskog polja .
Tokovi vektorskih polja na mnogostrukostima Tokovi vremenski nezavisnih i vremenski zavisnih vektorskih polja definisani su na glatkim mnogostrukostima tačno onako kako su definisani na euklidskom prostoru i njihovo lokalno ponašanje je isto. Međutim, globalna topološka struktura glatke mnogostrukosti se snažno manifestuje u tome kakvu vrstu globalnih vektorskih polja ona može podržati, a tokovi vektorskih polja na glatkim mnogostrukostima su zaista važan alat u diferencijalnoj topologiji. Većina studija dinamičkih sistema provodi se na glatkim mnogostrukostima, koje se u primjenama smatraju "parametarskim prostorima".
Formalno: neka bude diferencijabilna mnogostrukost. Neka označava tangentni prostor tačke Let biti će potpuna tangentna mnogostrukost; to jest, Let
biti vremenski zavisno vektorsko polje na <mathcal{M}; to jest, je glatko preslikavanje takvo da za svako i , neko ima to jest, preslikavanje preslikava svaku tačku na element njenog vlastitog tangentnog prostora. Za odgovarajući interval koji sadrži 0, tok je funkcija
Rješenja toplotne jednačine Neka jw subdomen (vezan ili ) od (sa integerom). Označimo njegovu granicu (pretpostavlja se glatku). Razmotrite sljedeću toplotnu jednačinu na , for ,
sa sljedećim uslovom početne vrijednosti in .
Jednačin NA odgovara homogenom Dirichletovom graničnom uvjetu. Matematička postavka za ovaj problem može biti polugrupni pristup. Da bismo koristili ovaj alat, uvodimo neograničeni operator definirano na njegovim domenom
(pogledajmo klasične Sobolevljeva prostora sa and
je zatvaranje beskonačno diferencijabilnih funkcija s kompaktnim nosačem u za norm).
Za bilo koji , imamo
Sa ovim operatorom, jednačina toplote postaje and . Dakle, protok koji odgovara ovoj jednačini je (vidi gornje oznake)
gdje je (analitička) polugrupa generirana od strane .
Rješenja talasne jednačine Ponovo, neka je poddomen (ograničen ili ne) od (gdje je cijeli broj). Označavamo sa njegovu granicu (pretpostavlja se da je glatka). Razmotrimo sljedeću talasnu jednačinu na (za ),
sa sljedećim početnim uslovom u i
Koristeći isti polugrupni pristup kao u slučaju gornje toplotne jednačine, zapisujemo talasnu jednačinu kao parcijalnu diferencijalnu jednačinu prvog reda u vremenu, uvođenjem sljedećeg neograničenog operatora,
sa domenom on (the operator je definirano u prethodnom primjeru). Uvodimo vektore kolone: (gdje i ) i
S ovim pojmovima, talasna jednačina postaje and .
Dakle, tok koji odgovara ovoj jednačini je: gdje je (unitarna) polugrupa generirana od strane
Bernoullijev tok Ergodički dinamički sistemi, odnosno sistemi koji pokazuju slučajnost, također pokazuju tokove. Najslavniji od njih je možda Bernoullijev tok. Ornsteinova teorema izomorfizma tvrdi da, za bilo koju datu entropiju , postoji tok , nazvan Bernoullijev tok, takav da tok u trenutku , tj. , je Bernoullijev pomak.
Nadalje, ovaj tok je jedinstven, do konstantnog ponovnog skaliranja vremena. To jest, ako , je drugi tok sa istom entropijom, tada , za neku konstantu . Pojam jedinstvenosti i izomorfizma ovdje je pojam izomorfizma dinamičkih sistema. Mnogi dinamički sistemi, uključujući Sinaijeve bilijare i Anosovljev tok, izomorfni su Bernoullijevim pomjeranjima.
Također pogledajte Abelova jednačina Iterirana funkcija Schröderova jednačina Beskonačne kompozicije analitičkih funkcija
Reference
Kategorija:Dinamički sistemi Kategorija:Grupne akcije