miniatura|La funció zeta de Riemann ζ(s) en el pla complex. El color d'un punt s codifica el valor de ζ(s): els colors propers al negre denoten valors propers a zero, mentre que la tonalitat codifica l'argument del valor. En matemàtiques, la teoria analítica de nombres és la branca de la teoria de nombres que fa servir mètodes de l'anàlisi matemàtica per resoldre problemes sobre els enters. És habitual considerar que l'estudi d'aquesta matèria va començar amb l'obra de Peter Gustav Lejeune Dirichlet de 1837, amb la seva introducció de les funcions L de Dirichlet per proporcionar la primera demostració del teorema de la progressió aritmètica. Els seus principals resultats sobre nombres primers són el teorema dels nombres primers i la funció zeta de Riemann, així com la conjectura de Goldbach i el problema de Waring sobre teoria additiva de nombres.
Àrees de la teoria analítica de nombres La teoria analítica de nombres es pot dividir en dues àrees principals, segons el tipus de problemes que intenten resoldre: La teoria multiplicativa de nombres tracta sobre la distribució dels nombres primers, estimant la quantitat de nombres primers que hi ha en un cert interval, i inclou el teorema dels nombres primers i el teorema de la progressió aritmètica de Dirichlet. La teoria additiva de nombres estudia l'estructura additiva dels enters, com per exemple la conjectura de Goldbach, que es pregunta si tot nombre enter parell superior a 2 es pot escriure com a suma de dos nombres primers. Un dels principals resultats de la teoria additiva de nombres és la solució al problema de Waring.
Història Precursors Gran part de la teoria analítica de nombres fou inspirada pel teorema dels nombres primers. Sigui π(x) la funció de recompte de nombres primers, que proporciona el nombre de primers més petits o iguals a x, per a qualsevol nombre real x. Per exemple, π(10) = 4 perquè hi ha quatre nombres primers (2, 3, 5 i 7) més petits o iguals a 10. El teorema dels nombres primers afirma que és una bona aproximació a π(x), en el sentit que el límit del quocient de les dues funcions π(x) i és 1 a mesura que x tendeix a infinit: ,
resultat que es coneix com la llei per a la distribució asimptòtica dels nombres primers.
Adrien-Marie Legendre va conjecturar en 1797 o 1798 que π (a) es pot aproximar per la funció a / (A ln(a) + B), on A i B són constants sense especificar. En la segona edició del seu llibre sobre teoria de nombres (1808) va precisar aquesta conjectura, amb A = 1 i B = −1.08366. Carl Friedrich Gauss va considerar la mateixa qüestió: "Im Jahr 1792 oder 1793", segons la seva pròpia recopilació d'uns 60 anys més tard en una carta a Encke (1849), va escriure en la seva taula de logaritmes la nota "Primzahlen unter ". Gauss, però, mai no va publicar aquesta conjectura. L'any 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet va aportar la seva pròpia funció aproximant, el logaritme integral li(x) (en la forma lleugerament diferent d'una sèrie, que va comunicar a Gauss). Tant la fórmula de Legendre com la de Dirichlet impliquen la mateixa equivalència asimptòtica conjecturada entre π(x) i x / ln(x), tot i que l'aproximació de Dirichlet resulta ser millor si hom considera les diferències en comptes dels quocients.
Dirichlet
S'atribueix a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet la creació de la teoria analítica de nombres, un camp en el qual va trobar diversos resultats importants i, amb les demostracions que hi va aportar, va introduir també algunes eines fonamentals, moltes de les quals duen el seu nom. L'any 1837 va publicar el seu teorema de la progressió aritmètica, on emprava conceptes de l'anàlisi matemàtica per atacar un problema algebraic, creant així la branca de la teoria analítica de nombres. En la demostració del teorema, va introduir els caràcters de Dirichlet i les funcions L. L'any 1841 va generalitzar el seu teorema de la progressió aritmètica dels enters a l'anell dels enters de Gauss .
Txebixov
En dues publicacions de 1848 i 1850, el matemàtic rus Pafnuti Lvóvitx Txebixov va intentar demostrar la llei per a la distribució asimptòtica dels nombres primers. La seva obra és notable per l'ús de la funció zeta ζ(s) (per a valors reals de l'argument s, de la mateixa manera que les investigacions de Leonhard Euler de l'any 1737), anterior a la celebrada disquisició de Riemann de 1859, i va reeixir a l'hora de demostrar una forma lleugerament més feble de la llei asimptòtica, en concret, que si existeix el límit de π(x)/(x/ln(x)) quan x tendeix a infinit, llavors aquest límit ha de ser igual a 1. Txebixov va aconseguir demostrar que aquest quocient està fitat superiorment i inferiorment per dues constants donades explícitament properes a 1 per a qualsevol x. Encara que la publicació de Txebixov's no demostrava el teorema dels nombres primers, les seves estimacions per a π (x) eren suficientment acurades com per demostrar el postulat de Bertrand, que afirma que existeix un nombre primer entre n i 2n per a qualsevol enter n ≥ 2.
Riemann
Bernhard Riemann va fer algunes contribucions importants a la teoria analítica de nombres moderna. En una sola publicació breu, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, (l'única que va publicar sobre teoria de nombres), investigava la funció zeta de Riemann i va establir la seva importància per tal de comprendre la distribució dels nombres primers. Va plantejar una sèrie de conjectures sobre la funció zeta, una de les quals és la coneguda hipòtesi de Riemann.
Hadamard i de la Vallée-Poussin
Ampliant les idees de Riemann, Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée-Poussin van publicar, de manera independent, sengles demostracions del teorema dels nombres primers l'any 1896. Totes dues demostracions utilitzaven mètodes de l'anàlisi complexa, establint com a pas principal de la demostració que la funció zeta de Riemann ζ(s) és no nul·la per a tots els valors complexos de la variable s de la forma s = 1 + it amb t > 0.
Actualitat El major canvi tècnic des de 1950 ha estat el desenvolupament de la , particularment en problemes multiplicatius. Els mètodes d'aquesta teoria són de naturalesa combinatòria, i força variats. Un altre desenvolupament recent és la teoria probabilística de nombres, que utilitza mètodes de la teoria de la probabilitat per estimar la distribució de funcions de teoria de nombres, com per exemple quants divisors primers té un nombre.
És habitual que els desenvolupaments que es produeixen en teoria analítica de nombres siguin refinaments de tècniques anteriors, que en redueixen els termes d'error i amplien la seva aplicabilitat. Per exemple, el mètode del cercle de Hardy i Littlewood fou concebut com una aplicació de les sèries de potències al voltant de la circumferència unitat del pla complex; actualment s'interpreta en termes de sumes expinencials finites (és a dir, sobre la circumferència unitat, però truncant la sèrie de potències). La necessitat de les aproximacions diofàntiques ve motivada per les funcions auxiliars que no són funcions generatrius (els seus coeficients es construeixen utilitzant el principi de les caselles), i tracten amb diverses variables complexes. Els camps de l'aproximació diofàntica i la teoria de la transcendència s'han ampliat, fins al punt que aquestes tècniques s'han aplicat a la conjectura de Mordell.
Problemes i resultats Els teoremes i resultats de la teoria analítica de nombres acostumen a no donar resultats estructurals exactes sobre els enters, per als quals són més adients eines algebraiques i geomètriques. En comptes d'això, proporcionen fites aproximades i estimacions per a diverses funcions de teoria de nombres, com il·lustren els següents exemples.
Teoria multiplicativa de nombres Euclides va demostrar que hi ha una quantitat infinita de nombres primers, però resulta molt complicat trobar un mètode eficient per determinar si un nombre és o no primer, especialment un nombre gran. Un problema relacionat, encara que més senzill, és determinar la distribució asimptòtica dels nombres primers; és a dir, una descripció aproximada de quants primers són més petits que un cert nombre donat. Gauss, entre d'altres, després de calcular una llarga llista de primers, va conjecturar que la quantitat de primers menors o iguals a un nombre gran N és propera al valor de la integral: .
En 1859, Bernhard Riemann va utilitzar tècniques d'anàlisi complexa i una funció meromorfa especial, actualment coneguda com la funció zeta de Riemann, per construir una expressió analítica per al nombre de primers més petits o iguals a un nombre real x. Cal destacar que el terme principal de la fórmula de Riemann és exactament la integral anterior, la qual cosa donava importància a la conjectura de Gauss. Riemann va trobar que els termes d'error d'aquesta expressió i, per tant, la forma en què estan distribuïts els nombres primers, estan íntimament lligats als zeros complexos de la funció zeta. Utilitzant les idees de Riemann i trobant més informació sobre els zeros de la funció zeta, Jacques Hadamard i Charles-Jean de la Vallée-Poussin van poder completar la demostració de la conjectura de Gauss. En particular, van demostrar que, si és el nombre de primers més petits o iguals a , aleshores .
Aquest important resultat es coneix actualment com el Teorema dels nombres primers. És un resultat central en teoria analítica de nombres. De manera resumida, aquest teorema afirma que, donat un nombre gran N, el nombre de primers més petits o iguals a N s'aproxima a N/log(N).
Més en general, hom es pot preguntar sobre el nombre de primers que apareixen en una progressió aritmètica qualsevol per a qualsevol enter n. En una de les primeres aplicacions de les tècniques analítiques a la teoria de nombres, Dirichlet va demostrar que qualsevol progressió aritmètica amb a i q coprimers conté un nombre infinit de primers. El teorema dels nombres primers es pot generalitzar a aquest problema; denotem per el nombre de primers p més petits o iguals a x tals que p pertany a la progressió aritmètica , amb . Llavors si a i q són coprimers, , on φ és la funció φ d'Euler.
També existeix una àmplia varietat de conjectures en teoria de nombres, les demostracions de les quals semblen massa difícils per a les tècniques actuals, com la conjectura dels primers bessons, que es pregunta si existeix una quantitat infinita de primers p tals que p + 2 també és primer. Suposant certa la conjectura d'Elliott-Halberstam, s'ha demostrat que hi ha un nombre infinit de primers p tals que p + k és primer per a algun k menor o igual a 12. A més, també s'ha demostrat, sense necessitat de suposar certa cap conjectura, que existeix un nombre infinit de primers p tals que p + k és primer per a algun k parell positiu menor o igual a 246.
Teoria additiva de nombres Un dels problemes més importants en teoria additiva de nombres és el problema de Waring, que planteja si és possible, per a qualsevol k ≥ 2, escriure qualsevol enter positiu com la suma finita de potències k-simes, .
El cas de quadrats, k = 2, fou resolt per Lagrange l'any 1770, qui va demostrar que tot enter positiu es pot expressar com la suma de quatre quadrats. El cas general fou demostrat per Hilbert l'any 1909, emprant tècniques algebraiques que no proporcionaven, però, cap fita explícita. Un avenç important fou l'aplicació de tècniques analítiques que van realitzar Hardy i Littlewood. Aquestes tècniques es coneixen com el mètode del cercle, i donen fites superiors explícites per a la funció G(k), el mínim nombre de potències k-simes necessàries, com la fita de Vinogradov .
Problemes diofàntics
L'objectiu dels problemes diofàntics és trobar solucions enteres a equacions polinòmiques: hom pot estudiar la distribució de les solucions, és a dir, recomptar les solucions segons un cert tipus de mesura de la "grandària" o altura.
Un exemple important és el problema del cercle de Gauss, que pregunta quins punts enters (x y) satisfan .