En matemàtiques, −1 (menys u) és un nombre enter negatiu, que va entre menys dos (-2) i zero (0). La seva representació binària pot ser −1 o 11...11 (en funció del format i del nombre de bits utilitzats per a representar nombres enters), la representació octal pot ser −1 o 77..77 (ídem) i l'hexadecimal pot ser −1 o FF..FF (ídem). La seva factorització en nombres primers és 1 × −1 = −1. És l'additiu invers d'1, és a dir, el nombre que, en sumar-li 1, dona 0. També forma part de la famosa identitat d'Euler:
Els negatius tenen algunes propietats similars però lleugerament diferents a les propietats dels nombres enters positius. Els negatius serien un multiplicador d'identitat si no fos pel canvi de signe:
L'arrel quadrada d'un nombre negatiu N és la mateixa que la del nombre positiu però en el pla complex. És a dir:
En informàtica, −1 de vegades és usat en alguns llenguatges de programació per a representar un valor inicial per a enters i també es pot utilitzar per a inicialitzar una variable que no conté cap informació útil si, per exemple, s'està cercant un valor d'una llista de nombres positius.
Ocurrències del nombre menys u: Designa l'any 2 aC.
Propietats matemàtiques És l'invers de l'addició del nombre 1, és a dir, el nombre que, quan se li suma a 1, dona 0. Té algunes propietats simliars però lleugerament differents a les propietats positives (de l'U (nombre)u); seria un multiplicador d'identitat si no fos per un canvi de signe: (−1) · x = −x. En el context de nombres imaginaris, i^2 és igual a −1, on i és la unitat imaginària. El nombre −1 està present en la identitat d'Euler: . És, en informàtica, un valor inicial per a enters en uns quants llenguatges; també s'utilitza per mostrar una variable que no conté cap informació útil.
Propietats algebraiques Multiplicar un número per −1 és equivalent a canviar el signe del número. És a dir, per a tot x es té () = −x. La qual cosa es pot demostrar utilitzant la propietat distributiva i l'axioma que 1 és l'element neutre:
.
On s'ha fet ús de la propietat que tot número multiplicat per 0 és igual a 0, la qual cosa es dedueix de la cancel·lació a partir de l'equació
.
miniatura|0, 1, −1, i, −i en el pla complex o cartesià En altres paraules,
,
pel que (−1) ⋅ x és la inversa additiva de , és a dir () = −x, com es va demostrar prèviament.
Elevació al quadrat de −1 El quadrat de −1 (és a dir, −1 per −1) és igual a 1. Per tant, el producte de dos números negatius és positiu.
Per a demostrar això algebraicament, es comença amb l'equació:
La primera equació es deriva del resultat anterior. La segona es deriva de la definició de −1 com l'invers additiu de 1: és precisament el número que dóna 0 en sumar-se a 1. Aplicant la propietat distributiva, veiem:
.
La segona equació es deriva del fet que 1 és l'element neutre de la multiplicació. Sumant 1 a banda i banda de l'última equació s'obté:
.
Les conseqüències anteriors també s'apliquen a qualsevol anell que generalitzi l'àlgebra abstracta de nombres enters i reals.
Arrel cuadrada de −1 El nombre complex i satisfà i² = −1 i, per tant, es considera l'arrel quadrada de −1. L'únic un altre nombre complex x que satisfà l'equació x² = −1 és −i. En l'àlgebra de cuaternions, que conté el pla complex, l'equació x² = −1 té infinites solucions.
Inversa i elements invertibles miniatura|350x350px|La funció recíproca f() = x−1 on per a tot x excepte 0, f(x) representa el seu invers multiplicador La exponenciació d'un nombre real diferent de zero es pot estendre a nombres enters negatius, on elevar un número a la potència −1 té el mateix efecte que obtenir el seu invers multiplicador:
.
Aquesta definició s'aplica als enters negatius, preservant la lley exponencial per als nombres reals i .
Un superíndex en f −1() representa la expressa específicament un recíproc puntual. Per exemple, és una notació per a la función arcsinus. On és bijectiva especificant un codomini d'arribada de tot i per a tot valor del domini , hi haurà
i .
Quan un subconjunt del codominio s'especifica dins de la funció , la seva inversa proveeix una imatge inversa, o preimatge, d'aquest subconjunt per a la funció.
Anells La exponenciación amb enters negatius es pot estendre a elements simètrics d'un anell definint com l'invers multiplicador de ; en aquest context, aquests elements són considerats unitats.
En un domini polinòmic sobretot cos , el polinomi no té invers. Si tingués un simètric , llavors hi hauria
la qual cosa no és possible, i per tant, no és un camp. En forma més específica, perquè el polinomi no és continu, no és una unitat en .
Potenciació d'enters negatius La potenciació d'un nombre real diferent de zero es pot estendre als enters negatius. Es defineix que , significant que un número elevat a la potència −1 té el mateix efecte que el seu recíproc. Aquesta definició és després estesa als enters negatius, preservant la llei de potència per al nombres reals i .
La potenciació a enters negatius pot ser estesa a elements no invertibles d'un anell, si es defineix x−1 com la inversa multiplicadora de .
Un −1 que es presenta com un sobreíndice d'una funció no significa que s'ha de prendre la recíproca puntual de la funció, sinó la funció inversa de la funció. Per exemple, és una notació per a la funció arcsinus, i en general representa la funció inversa de . Quan un subconjunt del codomini és especificat en la funció, el mateix representa la preimagen del subconjunt per a aquesta funció.
Representació binària a l'ordinador Hi ha diverses representacions diferents de −1 i enters negatius en general en els sistemes informàtics. El més utilitzat és el complement a dos de la seva forma positiva. Menys un té la mateixa representació en complement a dos que l'enter positiu 2 n − 1, on n és el nombre de dígits binaris en la representació (el nombre de bits en la mena de dades). Per exemple, 111111112 (binari) o FF 16 (hex) per a n = 8 representa el número −1 en complement a dos, però 255 en la representació estàndard.
Referències
Bibliografia
Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri}- Kasner, E., & Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster}-
,
, Mathematical Association of America
Vegeu també Teorema de Menelau Super Mario Bros.. (en el món 1-2 en travessar les parets de la canonada de sortida cap a la banderola de meta, si entres a la primera canonada et sortirà el nivell estrany -1)
Categoria:Nombres enters