miniatura|Representacions de diversos camps de les matemàtiques La matemàtica (encara que, per a referir-se a l'estudi i ciència, s'acostuma a utilitzar el plural matemàtiques) és aquella ciència que estudia patrons en les estructures de cossos abstractes i en les relacions que s'estableixen entre ells (del mot derivat del grec μάθημα, máthēma: ciència, coneixement, aprenentatge; μαθηματικός, mathēmatikós).
Malgrat que tingui múltiples usos en altres ciències i disciplines (molt particularment, en la física), i tracti relacions que poden semblar evidents, les matemàtiques primer postulen (vegeu axiomes matemàtics), i després dedueixen i demostren. Les matemàtiques no són una ciència experimental, sinó una ciència formal. Els matemàtics acostumen a definir i investigar estructures i conceptes abstractes per raons purament internes a la matemàtica, ja que tals estructures poden proveir, per exemple, una generalització elegant, o una eina útil per a càlculs freqüents. A més, molts matemàtics estudien les seves àrees de preferència simplement per raons estètiques, veient així la matemàtica com una forma d'art en comptes d'una ciència pràctica o aplicada (encara que les estructures que els matemàtics investiguen tenen, molt sovint, el seu origen en observacions de la natura).
miniatura|Progressió aritmètica|196x196px La matemàtica és un art, però també una ciència d'estudi. Informalment, es pot afirmar que la matemàtica és l'estudi dels «nombres i símbols», és a dir, la investigació d'estructures abstractes definides axiomàticament utilitzant la lògica i la notació matemàtica. És també la ciència de les relacions espacials i quantitatives. Es tracta de relacions exactes que existeixen entre quantitats i magnituds, i dels mètodes pels quals, d'acord amb aquestes relacions, les quantitats buscades són deduïbles a partir d'altres quantitats conegudes o pressuposades. Altres punts de vista poden trobar-se en la filosofia de les matemàtiques.
És freqüent trobar qui descriu la matemàtica com una simple extensió dels llenguatges naturals humans, que utilitza una gramàtica i un vocabulari definits amb extrema precisió, el propòsit dels quals és la descripció i exploració de relacions conceptuals i físiques. Recentment, això no obstant, els avanços en l'estudi del llenguatge humà apunten cap a una altra forma d'analitzar-los: els llenguatges naturals (com el català i el francès) i els llenguatges formals (com la matemàtica i els llenguatges de programació) són estructures de naturalesa bàsicament diferent.
Etimologia La paraula «matemàtiques» (del grec μαθηματικά) prové de dues paraules gregues μάθημα (máthēma), que significa 'aprenentatge', 'estudi', 'ciència' i, amb el pas del temps, el seu significat va quedar reduït al que avui coneixem com l'estudi matemàtic. L'adjectiu és μαθηματικός (mathēmatikós), que significa 'relacionat amb l'aprenentatge', 'estudiós' i que també, amb el pas del temps, va quedar reduït a 'matemàtic'. En especial, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), en llatí, ars mathematica, significava 'art matemàtic'. La forma plural del català prové del plural neutre llatí mathematica (Ciceró), basat en el plural grec τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) utilitzat per primera vegada per Aristòtil en referència a «totes les coses matemàtiques».
Història
miniatura|Àbac Històricament, la matemàtica va sorgir amb la finalitat de fer els càlculs en el comerç, per a amidar la terra i per a predir els esdeveniments astronòmics. Aquestes tres necessitats poden ser relacionades en certa manera amb la subdivisió àmplia de les matemàtiques en l'estudi de l'estructura, l'espai i el canvi. L'estudi de l'estructura comença amb els nombres, inicialment els nombres naturals i els nombres enters.
Les regles que dirigeixen les operacions aritmètiques s'estudien en l'àlgebra elemental, i les propietats més profundes dels nombres enters s'estudien en la teoria de nombres. La investigació de mètodes per a resoldre equacions duu al camp de l'àlgebra abstracta. L'important concepte de vector, generalitzat a espai vectorial, és estudiat en l'àlgebra lineal, i pertany a les dues branques de l'estructura i l'espai. L'estudi de l'espai origina la geometria, primer la geometria euclidiana i després la trigonometria.
La comprensió i descripció del canvi en variables mesurables és el tema central de les ciències naturals i del càlcul. Per a resoldre problemes que es dirigeixen en forma natural a relacions entre una quantitat i la seva taxa de canvi, i de les solucions a aquestes equacions, s'estudien les equacions diferencials.
Els nombres utilitzats per a representar les quantitats contínues són els nombres reals. Per a estudiar els processos de canvi, s'utilitza el concepte de funció matemàtica. Els conceptes de derivada i integral, introduïts per Isaac Newton i Leibniz, representen un paper clau en aquest estudi, que es denomina anàlisi.
Per raons matemàtiques, és convenient per a molts fins introduir-hi els nombres complexos, cosa que dona lloc a l'anàlisi complexa. L'anàlisi funcional, per contra, consisteix a estudiar problemes la incògnita dels quals és una funció, pensant-la com un punt d'un espai funcional abstracte.
Un camp important en matemàtiques aplicades és la probabilitat i l'estadística, que permeten la descripció, l'anàlisi i la predicció de fenòmens que tenen variables aleatòries i que s'usen en totes les ciències.
L'anàlisi numèrica investiga els mètodes per a fer els càlculs en computadores.
Grans matemàtics de la història Tales de Milet (600 aC). Matemàtic i geòmetra grec. Considerat un dels Set savis de Grècia. Inventor del teorema de Tales, que estableix que, si a un triangle qualsevol li tracem una paral·lela a qualsevol dels seus costats, obtenim dos triangles semblants.
Pitàgores (582-500 aC). Fundador de l'escola pitagòrica, que es basava en l'amor a la saviesa, a les matemàtiques i a la música. Se li ha atribuït la demostració del teorema que porta el seu nom, el qual estableix que, en un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa (el cantó oposat al de l'angle recte) és igual a la suma dels quadrats dels dos catets (els dos costats menors que la hipotenusa i que conformen l'angle recte). Hipàcia (370-415 aC.). Sàvia grega. Matemàtica, astrònoma i filòsofa. Professora i directora de l'Escola d'Alexandria.
Euclides (c. 365-300 aC). Savi grec, la seva obra Elements és considerada com el text matemàtic més important de la història.
Arquimedes (287-212 aC). Va ser el matemàtic més important de l'Edat Antiga. També conegut per una de les seves frases: «Eureka!, eureka!, ho he trobat».
al-Khuwarizmí (c. 780 - c. 850). Matemàtic, geògraf i astròleg/astrònom àrab. Del seu nom es deriven termes com àlgebra i algorisme.
Fibonacci (1170-1240). Matemàtic italià que va fer importants aportacions en els camps matemàtics de l'àlgebra i la teoria dels nombres.
John Napier (1550-1617). Matemàtic escocès reconegut per haver introduït els logaritmes, un grup dels quals porten el seu nom.
Galileo Galilei (1564-1642). Matemàtic italià, el principal assoliment del qual va ser crear un nexe d'unió entre les matemàtiques i la mecànica.
René Descartes (1596-1650). Matemàtic francès que va escriure una obra sobre la teoria de les equacions.
Pierre de Fermat (1601-1165). Matemàtic francès considerat el creador de la moderna teoria de nombres i conegut sobretot pel teorema que porta el seu nom i que ha romàs sense demostrar fins a finals del .
Blaise Pascal (1623-1662). Matemàtic francès que va formular un dels teoremes bàsics de la geometria projectiva.
Isaac Newton (1643-1727). Matemàtic anglès, autor dels Philosophiae naturalis principia mathematica.
Gottfried Leibniz (1646-1716). Matemàtic alemany que va desenvolupar, independentment de Newton, el càlcul infinitesimal.
Thomas Bayes (1702-1761). Matemàtic anglès conegut pels seus treballs sobre probabilitat condicionada.
Émilie du Châtelet (1706-1749). Matemàtica francesa, va traduir els Principia de Newton i contribuir al desenvolupament del càlcul i del raonament matemàtic.
Leonhard Euler (1707-1783). Matemàtic suís que va fer importants descobriments en el camp del càlcul i la teoria de grafs. Maria Gaetana Agnesi (1718-1799). Matemàtica italiana que va contribuir al desenvolupament i divulgació del càlcul diferencial.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Matemàtic francoitalià que va fer contribucions en el camp del càlcul i de la teoria dels nombres.
Pierre-Simon Laplace (1749-1827). Matemàtic francès que va fer importants aportacions a la teoria de probabilitats, va desenvolupar l'equació de Laplace i va inventar la transformada de Laplace, que té importants aplicacions en electrònica. Va ser un fervent creditor del determinisme científic.
Caroline Herschel (1750-1848). Matemàtica alemanya, que es va dedicar a la recerca en astronomia. El 1828 va guanyar la medalla d'or de la Royal Astronomical Society pel descobriment de set cometes.
Paolo Ruffini (1765-1822). Matemàtic italià que va inventar la regla de Ruffini, que permet trobar coeficients del resultat de la divisió d'un polinomi pel binomi (x - r).
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Matemàtic francès. Va estudiar la transmissió de calor, desenvolupant per a això la transformada de Fourier; d'aquesta manera, va estendre el concepte de funció i va introduir una nova branca dins de la teoria de les equacions diferencials.
Sophie Germain (1776-1831). Matemàtica francesa. Va estudiar la teoria de nombres i el càlcul, i va fer contribucions a la demostració del Teorema de Fermat.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Matemàtic alemany conegut com «el príncep de les matemàtiques». Ha contribuït de manera notable a diverses àrees de les matemàtiques: la teoria de nombres, l'anàlisi matemàtica i la geometria diferencial. Va ser el primer a provar rigorosament el teorema fonamental de l'àlgebra. Va inventar el que es coneix com a mètode de Gauss, que va utilitzar per a resoldre sistemes de tres equacions lineals amb tres incògnites.
Mary Somerville (1780-1872). Matemàtica escocesa que va treballar en àlgebra i astronomia.
Bernard Bolzano (1781-1848). Matemàtic, lògic, filòsof i teòleg bohemi que va escriure en alemany i que va fer importants contribucions a les matemàtiques i a la Teoria del coneixement. Se'l coneix, sobre tot, pel teorema que duu el seu nom.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Matemàtic francès, pioner en l'anàlisi matemàtica i la teoria de grups. Va oferir la primera definició formal de funció, límit i continuïtat. També va treballar la teoria dels determinants, probabilitat, el càlcul complex i les sèries.
Niels Henrik Abel (1802-1829). Matemàtic noruec. Durant la seva curta vida va fer contribucions rellevants en diversos camps de les matemàtiques, entre ells a les funcions el·líptiques. Un dels guardons més importants concedits a un matemàtic porta el seu nom.
Évariste Galois (1811-1832). Matemàtic i activista polític francès, els seus treballs van posar els fonaments de dues grans branques de l'àlgebra.
Karl Weierstrass (1815-1897). Matemàtic alemany considerat el «pare de l'anàlisi matemàtica moderna».
Florence Nightingale (1820-1910). Matemàtica britànica, pionera de l'aprofundiment i la divulgació de l'estadística. També va desenvolupar la teoria de grafs.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866).
Sofia Kovalevskaya (1850-1891). Matemàtica russa. Va contribuir a l'estudi de les equacions en derivades parcials i a l'astronomia.
Henri Poincaré (1854-1912). Matemàtic francès destacat pels seus treballs sobre equacions diferencials i llurs aplicacions a la mecànica celeste.
David Hilbert (1862-1943). Matemàtic alemany reconegut com un dels més influents i universals de finals del segle xix i començaments del xx.