El teorema de Línnik en teoria analítica dels nombres respon a una qüestió que sorgeix de manera natural a partir del teorema de Dirichlet. Afirma que, si es nota p(a,d) el nombre primer més petit de la progressió aritmètica
,
per a un nombre enter n> 0, on a i d són qualsevulla enters positius primers entre ells tals que 1 ≤ a ≤ d, existeixen nombres c i L positius tals que:
.
El teorema s'anomena així en honor de Iuri Vladímirovitx Línnik (1915-1972) qui el va demostrar el 1944.Línnik, I. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139-178Línnik, I. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347-368 Tot i que la demostració de Línnik demostra que c i L són efectivament calculables, no va donar cap valor numèric per a aquestes constants.
La constant L s'anomena la constant de Línnik la següent taula presenta els progressos que s'han ant fent per determinar el seu valor.
L ≤ Any de publicació Autor 10000 1957 PanPan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) p. 311-313 5448 1958 Pan 777 1965 ChenChen, Jingrun On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) p. 1868-1871 630 1971 Jutila 550 1970 JutilaJutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp. 168 1977 ChenChen, Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, p. 529-562 80 1977 JutilaJutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, p. 45-62 36 1977 GrahamApplications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977 20 1981 GrahamGraham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, p. 163-179 (presentat per a publicació abans de l'article de Chen del 1979) 17 1979 ChenChen, Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, p. 859-889 16 1986 Wang 13.5 1989 Chen and LiuChen, Jingrun and Liu, Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, p. 654-673Chen, Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, p. 792-807 5.5 1992 Heath-BrownHeath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), p. 265-338
A més, segons els resultats de Heath-Brown la constant c és efectivament calculable.
Se sap que L ≤ 2 quasi per a tots els enters d.E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), p. 215–224.
Amb la hipòtesi generalitzada de Riemann es pot demostrar que
on és la funció Fi d'Euler.
També s'ha conjecturat que:
Referències
Linnik