miniatura|A Disquisitiones Arithmeticae (1801) Gauss va demostrar el teorema de la factorització única i el va utilitzar per demostrar la llei de reciprocitat quadràtica. El teorema fonamental de l'aritmètica afirma que

Sigui un nombre enter diferent de . Existeixen nombres primers positius (amb ) tals que i són únics llevat de l'ordre.

Aquesta expressió d'un enter com a producte de nombres primers s'anomena factorització. Per exemple:

6936 = 23 · 3 · 17² 1200 = 24 · 3 · 5²

i cap altra factorització d'aquests nombres és possible. Aquest procés demostra que els primers es poden considerar els elements bàsics a partir dels quals es construeixen tots els enters; en concret, ens dona un coneixement complet de tots els factors d'un nombre. Per exemple, en el cas del 6936, de la factorització anterior, que és única, se sap que tots els possibles factors (no primers) de 6936 són:

2a · 3b · 17c

amb , amb i amb . Això dona un total de factors.

Demostració La primera demostració es deu a Euclides, i consisteix en dues parts: primer cal demostrar que tot nombre es pot escriure com a producte de nombres primers i, en segon lloc, demostrar que aquest producte és únic, excepte per l'ordre dels productes.

Suposem que hi hagués enters que no es poden escriure com a producte de primers i suposem també que n sigui el més petit d'aquests enters. Com n no pot ser igual a 1 (pel que hem dit abans) ni pot ser un primer, ja que qualsevol primer és producte d'ell mateix, ha de ser un nombre compost i, per tant, el podem escriure com

n = ab

on a, b són enters positius més petits que n. Com que n era l'enter més petit que no es podia escriure com a producte de primers, resulta que a, b sí que es poden escriure com a producte de primers:

a = p1p₂p₃... b = q1q₂q₃...

i, per tant:

n = ab = p1p₂p₃...q1q₂q₃...

És a dir, que n sí que es pot escriure com a producte de primers, contradient la suposició i demostrant que, efectivament, tot enter es pot escriure com a producte de primers.

Ara falta demostrar la unicitat del producte en primers. Se sap que si un nombre primer p divideix un producte ab, llavors divideix a o divideix b (lema d'Euclides). Ara suposem que existeixen dos productes de nombres primers que donen el mateix nombre enter i suposem que p és un primer del primer producte; aquest p divideix el primer producte i, per tant, també el segon. Llavors també ha de dividir almenys un factor del segon producte. Però tots els factors són primers, no divisibles per ningú més que ells mateixos. Això només deixa la possibilitat que p també sigui un dels factors del segon producte. Continuant amb tots els factors veuríem que tots són iguals.

Generalització Els anells on es compleix aquesta propietat que tot element es pot factoritzar de manera única en producte d'elements primers s'anomenen anells factorials o anells de factorització única. El teorema fonamental de l'aritmètica demostra que l'anell dels nombres enters és un anell factorial, però n'hi ha d'altres com els anells de polinomis, els anells principals, etc.

Història El teorema fonamental es pot derivar del llibre VII, proposicions 30, 31 i 32, i del llibre IX, proposició 14 dels Elements d'Euclides.

(En terminologia moderna: si un nombre primer p divideix el producte ab, aleshores p divideix a o b o tots dos.) La Proposició 30 es coneix com el lema d'Euclides, i és la clau en la demostració del teorema fonamental de l'aritmètica.)

(En terminologia moderna: tot enter més gran que la unitat es divideix per algun nombre primer.) La proposició 31 es demostra directament per descens infinit.)

La proposició 32 yyyderiva de la proposició 31 i demostra que la descomposició és possible.

(En terminologia moderna: un mínim comú múltiple de diversos nombres primers no és un múltiple de cap altre nombre primer.) El llibre IX, proposició 14, es deriva del llibre VII, proposició 30, i demostra parcialment que la descomposició és única, un punt assenyalat críticament per André Weil. Fins i tot a Euclides, no trobem una afirmació general sobre la singularitat de la factorització d'un enter en nombres primers; segurament ell potser n'era conscient, però tot el que té és una afirmació (Eucl.IX.I4) sobre el mínim comú de nombres primers de qualsevol nombre de nombres primers donats. De fet, en aquesta proposició els exponents són tots iguals a un, de manera que no es diu res per al cas general.)

Mentre Euclides va fer el primer pas en el camí cap a l'existència de la factorització prima, Kamal al-Din al-Farisí va fer el pas final i va enunciar per primera vegada el teorema fonamental de l'aritmètica.

L'article 16 de les Disquisitiones Arithmeticae de Gauss sembla ser la primera prova de la part d'unicitat del teorema.

Aplicacions Representació canònica d'un enter positiu Tot enter positiu es pot representar exactament d'una manera com a producte de potències primeres

\

on són nombres primers i els són nombres enters positius. Aquesta representació s'estén habitualment a tots els nombres enters positius, inclòs 1, mitjançant la convenció que el producte buit és igual a 1 (el producte buit correspon a ).

Aquesta representació s'anomena representació canònica de , o la forma estàndard de n. Per exemple,

999 = 3 3 × 37,

1000 = 2/3 × 5/3,

1001 = 7 × 11 × 13.

Els factors es poden inserir sense canviar el valor de (per exemple, ). De fet, qualsevol enter positiu es pot representar de manera única com un producte infinit pres sobre tots els nombres primers positius, com

on un nombre finit dels són enters positius, i els altres són zero.

Permetre exponents negatius proporciona una forma canònica per als nombres racionals positius.

Operacions aritmètiques La demostració d'unicitat utilitza el lema d'Euclides (Elements VII, 30): si un nombre primer divideix el producte de dos nombres enters, aleshores ha de dividir almenys un d'aquests nombres enters.

Existència Cal demostrar que tot enter més gran que és primer o un producte de nombres primers. Sigui un enter més gran que i fem la suposició inductiva que tot enter més gran que i més petit que és primer o un producte de nombres primers. Si és primer, no hi ha res més a demostrar. Altrament, hi ha enters i , on , i . Per la hipòtesi inductiva, i són productes de nombres primers. Però aleshores és un producte de nombres primers.

Singularitat Suposem, al contrari, que hi ha un nombre enter que té dues factoritzacions primeres diferents. Sigui el menor d'aquests nombres enters i escrivim , on cada i és primer. Veiem que divideix , de manera que divideix algun pel lema d'Euclides. Sense pèrdua de generalitat, diguem que divideix Com que i són tots dos primers, es dedueix que Tornant a les nostres factoritzacions de , podem cancel·lar aquests dos factors per concloure que . Ara tenim dues factoritzacions primeres diferents d'un enter estrictament més petit que , cosa que contradiu la minimalitat de .

Unicitat sense el lema d'Euclides El teorema fonamental de l'aritmètica també es pot demostrar sense utilitzar el lema d'Euclides. La demostració que segueix està inspirada en la versió original de l'algoritme euclidià d'Euclides.

Suposem que és el nombre enter positiu més petit que és el producte de nombres primers de dues maneres diferents. A més, això implica que , si existeix, ha de ser un nombre compost més gran que Ara, si

Cada ha de ser diferent de cada Altrament, si dius aleshores existiria algun nombre enter positiu que és més petit que i té dues factoritzacions primeres diferents. També es pot suposar que intercanviant les dues factoritzacions, si cal.

Configuració i un té També, des que un té Aleshores es dedueix que

Com que s'ha suposat que els enters positius menors que tenen una factorització prima única, ha de produir-se en la factorització de qualsevol de les dues o Aquest darrer cas és impossible, ja que , en ser més petit que , ha de tenir una factorització prima única, i difereix de cada El primer cas també és impossible, ja que, si és un divisor de també ha de ser un divisor de cosa que és impossible com i són nombres primers diferents.

Per tant, no pot existir un nombre enter més petit amb més d'una factorització prima diferent. Cada nombre enter positiu ha de ser o bé un nombre primer en si mateix, que es factoritzaria de manera única, o bé un compost que també es factoritzaria de manera única en nombres primers, o en el cas de l'enter , no factoritza en cap nombre primer.

Referències

Bibliografia

. .

Fonamental de l'Aritmetica Categoria:Aritmètica Categoria:Nombres primers