En Matemàtiques, i particularment en Teoria de la mesura, el teorema de Carathéodory o teorema d'extensió de Carathéodory, formulat per Constantin Carathéodory mostra com estendre una funció de conjunt definida en una àlgebra a una mesura sobre la -àlgebra generada. Aquest resultat és fonamental per a la construcció de mesures, com la mesura de Lebesgue. La referència fonamental d'aquest article és.
Definicions preliminars Definició: Una mesura en un conjunt X és una aplicació , on M és una -àlgebra en X tal que:
(i)
(ii) . Donats disjunts dos a dos, , En aquest cas, diem que es un espai de mesura.
Definició: (Mesura exterior) Una mesura exterior en X és una aplicació , on és el conjunt de tots els subconjunts de que compleix
(i)
(ii) Monotonia: Si
(iii) -subadditivitat: Si és una família de subconjunts de , llavors
Observació: Cal notar que una mesura està definida en una -àlgebra sobre , mentre que una mesura exterior està definida en la família de tots els subconjunts de (que és una -àlgebra). En general, una mesura exterior no és una mesura.
Teorema de Carathéodory Sia una mesura exterior en X. Diem que un conjunt és -mesurable si per a tot conjunt tenim Designem per el conjunt dels conjunts mesurables.
Teorema. Amb les notacions anteriors, és una -àlgebra sobre i la funció definida com la restricció de a és una mesura en X. A més, l'espai de mesura és complet, és a dir, conté tots els subconjunts dels conjunts de mesura 0.
A partir d'aquest teorema es demostren molts altres resultats d'extensió de funcions de conjunt que tenen moltes aplicacions en Teoria de la mesura i en Teoria de la Probabilitat. Per exemple, recordem que una àlgebra sobre un conjunt és una família no buida de subconjunts de que és tancada per complementació i per unions (i inereseccions) d'un nombre finit de conjunts. També també es diu que una pre-mesura sobre una àlgebra és una funció de conjunt tal que
(i)
(ii) Si disjunts dos a dos, , i tal que llavors La noció de pre-mesura -finita és anàloga a la de mesura -finita .
Tenim els següent teorema:
Teorema. Sigui un conjunt, una àlgebra sobre aquest conjunt i una pre-mesura -finita . Aleshores existeix una única mesura definida en la -àlgebra generada per que és una extensió de .
Bibliografia
Referències
Carathéodory