Un axioma o un postulat és una proposició que hom admet sense demostració o proves com a punt de partença d'una teoria, un primer principi, regla o màxima indemostrable que ha trobat acceptació general.
La paraula prové del grec axíōma (ἀξίωμα) «el que es considera just». Entre els filòsofs grecs antics, un axioma era una afirmació que es considerava autèntica sense necessitat de proves, perquè era evident per si mateixa. Un dels axiomes d'Euclides estableix per exemple que entre dos punts sempre es pot traçar una línia recta.
Si l'axioma és una frase provinent d'un sil·logisme, aleshores tant les premisses com l'estructura interna del sil·logisme han de ser innegables com aquesta mateixa conclusió. I així successivament si s'encadenen més sil·logismes.
L'axioma es diferencia del dogma en la mirada o punt de vista. És a dir, en el sentit que, simplificant, el primer es basa en premisses lògiques i científiques, mentre que el segon es basa en una autoritat o uns arguments morals, freqüentment religiosos.
Al mètode científic es considera que una suposició prèvia a un raonament és una premissa i, si és tal en la qual es basa tota una ciència aleshores és un axioma. Així, alguns axiomes donats com a tals per la ciència moderna són, de fet, arguments molt sòlids però fora d'esquemes lògics estrictes, i per tant, no necessàriament innegables, com algunes proposicions de la física.
Història Els primers sistemes d'axiomes coneguts són els escrits per Euclides en els seus "Elements d'Euclides". També és interessant l'evolució dels axiomes que feu Aristòtil en la seva anàlisi del sil·logisme (amb el problema que les teories d'Aristòtil romangueren petrificades durant segles). Els estudis duts a terme especialment durant el pels matemàtics alemanys varen portar a noves conclusions de l'axiomàtica, les quals feren evolucions en el coneixement (com l'àlgebra moderna i la geometria no euclidiana).
Primers desenvolupaments a Grècia El mètode lògico-deductiu pel qual les conclusions (coneixement nou) s'obté a partir de premisses (coneixement vell) a través de l'aplicació d'arguments contundents (sil·logismes, regles d'inferència), va ser desenvolupat pels antics grecs, i s'ha convertit en el nucli principal de les matemàtiques modernes. Excloses les tautologies, res no es pot deduir si res no s'assumeix. Els axiomes i els postulats són les suposicions bàsiques subjacents a un cos donat de coneixement deductiu. S'accepten sense demostració. Totes les altres assercions (teoremes, si es tracta de matemàtiques) han de ser demostrades amb l'ajut d'aquestes suposicions bàsiques. Tanmateix, la interpretació de coneixement matemàtic ha canviat de temps antics als moderns, i en conseqüència els termes «axioma» i «postulat» tenen un significat lleugerament diferent per als matemàtics d'avui en dia, del que tenien per Aristòtil i a Euclides.
Els grecs antics consideraven la geometria només com una d'unes quants ciències, i tenien els teoremes de geometria al mateix nivell dels altres fets científics. Com a tal, van desenvolupar i emprar el mètode lògico-deductiu com a mitjà d'evitar errors, i per estructurar i comunicar el coneixement. L'obra d'Aristòtil Analítica posteriora és una exposició definitiva del punt de vista clàssic.
Un "axioma", en terminologia clàssica, es refereix a una suposició evident comú a moltes branques de ciència. Un bon exemple seria l'afirmació de què Quan es detrau una quantitat igual d'iguals, en resulten iguals.
En la fonamentació de diverses ciències hi ha certes hipòtesis addicionals que s'acceptaven sense prova. Tals hipòtesis es qualificaven de postulats. Mentre que els axiomes eren comuns a moltes ciències, els postulats de cada ciència particular eren diferents. La seva validesa s'havia d'establir per mitjà de l'experiència al món real. En efecte, Aristòtil adverteix que el contingut d'una ciència no es pot comunicar adequadament, si l'aprenent dubta sobre la veritat dels postulats.
L'enfocament clàssic queda ben il·lustrat pels Elements d'Euclides, on es dona una llista de postulats (fets geomètrics de sentit comú obtinguts de la nostra experiència), seguit d'una llista de "nocions comunes" (afirmacions molt bàsiques i evidents).
Postulats És possible dibuixar una recta des de qualsevol punt a qualsevol altre punt. És possible allargar contínuament qualsevol segment rectilini. És possible descriure una circumferència amb qualsevol centre i qualsevol radi. És cert que tots els angles rectes són iguals els uns als altres. ("Postulat de les paral·leles") és cert que, si una recta talla dues rectes formant en un costat angles interiors menors de dos rectes, les dues rectes, si es perllonguen indefinidament, es tallen en aquest costat.
Nocions comunes Les coses que són iguals a la mateixa cosa són també iguals l'una a l'altra. Si s'afegeixen iguals a iguals, els totals són iguals. Si iguals se sostrauen d'iguals, els residus són iguals. Les coses que coincideixen l'una amb l'altra són iguals l'una a l'altra. El tot és més gran que la part.
Desenvolupament modern Una lliçó apresa pels matemàtics durant els 150 darrers anys és que és útil despullar de significat les assercions matemàtiques (axiomes, postulats, proposicions, teoremes) i definicions. Aquesta abstracció, es podria fins i tot dir formalització, fa el coneixement matemàtic més generals, capaç de múltiples significats, i per això útil en contexts múltiples.
Els matemàtics estructuralistes van més enllà, i desenvolupen teories i axiomes (p. ex. teoria de cossos, teoria de grups, topologia, espais vectorials) sense cap aplicació particular al cap. La distinció entre un "axioma" i un "postulat" desapareix. Els postulats d'Euclides estan motivats perquè condueixen a una gran quantitat de fets geomètrics. La veritat d'aquests fets complicats es recolza sobre l'acceptació de les hipòtesis bàsiques. Tanmateix, rebutjant el cinquè postulat d'Euclides s'obtenen teories que tenen significat en contexts més amplis, la geometria hiperbòlica per exemple. Només cal estar preparats per fer servir etiquetes com "línia" i "paral·lel" amb una flexibilitat més gran. El desenvolupament de la geometria hiperbòlica va ensenyar als matemàtics que els postulats s'haurien de considerar com declaracions purament formals, i no com fets basats en l'experiència.
Quan els matemàtics empren els axiomes d'un cos, les intencions són fins i tot més abstractes. Les proposicions de teoria de cossos no afecten una aplicació particular qualsevol; el matemàtic ara introdueix l'abstracció completa. Hi ha molts exemples de cossos; la teoria de cossos dona un coneixement correcte sobre tots.
No és correcte dir que els axiomes de teoria de cossos són "proposicions que es veuen com veritables sense prova." Més aviat, els axiomes de cos són un conjunt de restriccions. Si qualsevol sistema donat amb addició i multiplicació, satisfà aquestes restriccions, llavors s'està en una posició de saber instantàniament gran quantitat d'informació extra sobre aquest sistema.
Les matemàtiques modernes formalitzen els seus fonaments de tal manera que les teories matemàtiques es poden considerar com objectes matemàtics, i la lògica mateixa es pot considerar com una branca de les matemàtiques. Frege, Russell, Poincaré, Hilbert, i Gödel són alguns dels protagonistes clau en aquest desenvolupament.
En la visió moderna, un conjunt d'axiomes és qualsevol conjunt d'assercions formalment establertes a partir de les quals s'obtenen unes altres assercions formalment descrites per l'aplicació de certes regles ben definides. En aquesta visió, la lògica es converteix només en un altre sistema formal. Un conjunt d'axiomes haurien de ser coherents; hauria de ser impossible obtenir una contradicció dels axiomes. Un conjunt d'axiomes també haurien de ser no redundants; una asserció que es pot deduir d'uns altres axiomes no cal considerar-la un axioma.
L'esperança inicial dels lògics moderns era que les diverses branques de les matemàtiques, potser totes les matemàtiques, es podrien obtenir d'una conjunt coherent d'axiomes bàsics. Un primer èxit del programa de formalistes va ser la formalització de Hilbert de la geometria euclidiana, i la demostració de la consistència dels seus axiomes.
En un context més ampli, hi va haver un intent de basar tota la matemàtica en la teoria de conjunts de Cantor. Aquí l'aparició de la paradoxa de Russell, i antinòmies similars de la teoria de conjunt ingènua va portar a la possibilitat que qualsevol sistema d'aquest tipus podria resultar ser inconsistent.
El projecte de formalista va patir un contratemps decisiu, quan el 1931 Gödel va demostrar que és possible, per qualsevol conjunt prou gran d'axiomes (Els axiomes de Peano, per exemple) construir una declaració de la veritat de la qual és independent d'aquell conjunt d'axiomes. Com a corol·lari, Gödel demostrava que la consistència d'una teoria com l'aritmètica Peano és una asserció indemostrable dins de l'abast de la mateixa teoria.
És raonable creure en la consistència de l'aritmètica de Peano perquè aquests axiomes els satisfan el sistema de nombres naturals, un sistema formal infinit però intuïtivament accessible. Tanmateix, actualment, no hi ha cap manera coneguda de demostrar la consistència dels moderns axiomes de Zermelo-Fraenkel per a la teoria de conjunt. L'axioma d'elecció, una hipòtesi clau d'aquesta teoria, roman una suposició molt controvertida. A més, fent servir tècniques de forçar-los (Cohen) es pot demostrar que la hipòtesi del continu (Cantor) és independent dels axiomes de Zermelo-Fraenkel. Així, ni tan sols aquest conjunt força general d'axiomes no es poden considerar com la fonamentació definitiva de les matemàtiques.
Axiomàtica La ciència que estudia les condicions dels axiomes és l'axiomàtica. L'estudi dels axiomes és especialment útil en les matemàtiques, si bé també és aplicable en altres ciències (física, economia, estadística, etc.).
Un cop establert el concepte d'axioma com afirmació que serveixen de punt de partida per a demostrar la resta d'afirmacions del sistema, apareixen una sèrie de qüestions referents al mateix sistema d'axiomes. Aquestes qüestions inclouen per exemple: La determinació de si algun axioma es pot demostrar a partir dels altres, per tant si és redundant i es pot excloure del sistema. La determinació de si els axiomes són consistents, és a dir si està garantit que a partir d'ells no es podrà demostrar una cosa i la contrària al mateix temps. Si dos conjunts diferents d'axiomes són equivalents, és a dir si permeten demostrar exactament el mateix. I en aquest cas l'estudi de quin d'aquests conjunts pot ser més adequat per a determinats propòsits. Si un determinat conjunt d'axiomes és complet, és a dir si totes les afirmacions que es poden formular sobre el tema o bé es poden demostrar o bé es pot demostrar la seva negació.
Lògica matemàtica En matemàtiques un axioma és una afirmació que serveix de punt de partida per demostrar les altres. Es poden distingir dos sentits relacionats però diferents d'axioma: Els axiomes lògics i els axiomes no lògics. Els axiomes lògics o tautologies són afirmacions que són certes independentment de quins siguin els objectes a què fa referència, per exemple: si A i B llavors A, és veritat independentment que què siguin A i B. Els axiomes no lògics defineixen propietats per una teoria matemàtica específica, per exemple a * b = b * a és un axioma en teoria de grups abelians.