Una sèrie de Dirichlet (en honor al matemàtic alemany Gustav Dirichlet) és qualsevol sèrie infinita de la forma
La sèrie de Dirichlet més famosa és la funció zeta de Riemann:
També és una sèrie de Dirichlet, per exemple,:
on μ(n) és la funció de Möbius, així com altres funcions relacionades amb la funció zeta.
Propietats Les sèries de Dirichlet es poden sumar o multiplicar de la següent manera, i aquestes definicions purament algebraiques són consistents amb els valors assolits a la regió de convergència: Suma: Multiplicació: La multiplicació puntual descrita també s'anomena convolució de Dirichlet.
Sèrie formal de Dirichlet Considerem un anell R, essent un cas especial l'anell dels nombres enters. Una sèrie formal de Dirichlet sobre R correspon a la suma formal:
amb coeficients . La suma i multiplicació en aquest cas són definits purament formalment, sense qüestions de convergència, per les fórmules anteriors d'addició puntual i la convolució de Dirichlet. Les sèries formals de Dirichlet formen un anell algebraic.
Vegeu també Teorema de Wiener-Ikehara
Bibliografia
G.H. Hardy; Marcel Riesz. The General Theory of Dirichlet's Series, 1915. Cambridge University Press.
Dirichlet