En matemàtiques, una demostració, també dita prova, és un raonament lògic que estableix la veritat d'una proposició matemàtica. A partir d'axiomes (suposats vertaders per definició) o teoremes (altres proposicions matemàtiques demostrades a partir dels axiomes) i en aplicar regles d'inferència vàlides, hom mostra que una altra proposició també és vertadera.
Com que les matemàtiques són una ciència formal, no empírica, la demostració ha de ser un argument que no apel·li a cap fet empíric. Les proves s'obtenen de raonaments deductius, en lloc de raonaments inductius o arguments empírics. Això vol dir que una prova ha de demostrar que una proposició és certa en tots els casos sense una sola excepció. El rigor de la metodologia matemàtica exigeix que cap proposició no s'accepti com a vàlida fins que hom no en conegui una demostració correcta. Els enunciats matemàtics demostrats que es consideren d'una especial rellevància s'anomenen teoremes i els d'importància menor lemes o corol·laris. Una proposició matemàtica que no ha estat provada ni refutada i per la qual hi ha algunes intuïcions que fan pensar que és vertadera, és una conjectura o una hipòtesi.
Les demostracions matemàtiques normalment s'escriuen i s'expliquen en llenguatge natural (amb un cert nivell d'artifici formal propi del quefer matemàtic), i això pot deixar lloc a una certa ambigüitat. És per això que la teoria de la demostració ha desenvolupat mètodes per formalitzar completament el raonament matemàtic i poder així determinar amb tota precisió la noció de demostració matemàtica vàlida. Aquestes investigacions han tingut sens dubte un gran valor per a la fonamentació i la filosofia de la matemàtica.
Entre els mètodes de demostració habituals en matemàtiques podem enumerar la demostració directa, la demostració per inducció en els naturals, la demostració per contradicció o reducció a l'absurd, la demostració per separació de casos, la demostració constructiva, etcètera.
Història i etimologia Argumentacions plausibles que utilitzen elements heurístics com dibuixos i analogies, precedeixen les demostracions estrictament matemàtiques. La història del concepte de demostració es remunta a les civilitzacions de l'antiga Grècia. Tales de Milet (640–546 aC) va demostrar alguns teoremes de geometria. Èudox de Cnidos (408–355 aC) i Teetet d'Atenes (417–369 aC) va formular teoremes però no els va demostrar. Aristòtil (384–322 aC) va dir que les definicions haurien de descriure el concepte que s'ha de definir en termes d'altres conceptes que ja són coneguts. Euclides (300 aC) va ser l'autèntic introductor del mètode deductiu pur en començar la seva obra, els Elements de Geometria, amb 33 definicions i 10 axiomes (proposicions respecte als termes definits, i que s'accepten com a evidentment certes; de la paraula grega "axios" que significa "alguna cosa valuosa") i que s'usen per demostrar teoremes utilitzant la lògica deductiva.
La introducció de l'aritmètica i, sobretot, de l'àlgebra per part dels matemàtics islàmics (segles IX a XIV), van permetre generalitzar les demostracions, que ja no van dependre exclusivament de la geometria. Durant el , amb l'aportació del càlcul infinitesimal per part de Newton i Leibniz, es va produir una formalització més estricta de les demostracions, que culminaria a començaments del amb la publicació dels Principia Mathematica de Russell i Whitehead (1910) i el programa formalista de Hilbert.
La teoria de la demostració moderna tracta les demostracions com a estructures de dades definides inductivament. En l'actualitat no s'assumeix que els axiomes són "certs" en algun sentit; això permet fer teories matemàtiques paral·leles construïdes amb conjunts alternatius d'axiomes (vegeu teoria de conjunts axiomàtica i geometria no euclidiana per exemple).
La paraula Prova (demostració) prové del verb llatí probare que significa "provar". Paraules modernes relacionades amb aquesta són les paraules angleses "proof", "probation" i "probability", i la paraula catalana "provar".
Natura i propòsit Hi ha dues concepcions diferents d'una demostració matemàtica.Buss, 1997, p. 3 La primera és la demostració informal, una expressió rigorosa del llenguatge natural que intenta convèncer l'audiència de la veracitat d'un teorema. Com que utilitza el llenguatge natural, els estàndards de rigor de les demostracions informals dependran de l'audiència a qui es dirigeix. Malgrat tot, per tal que es consideri vàlida una demostració informal, l'argument ha de ser prou rigorós; un argument vague o incomplet no és una demostració. Les demostracions informals són el tipus de demostracions que es troben típicament en les publicacions matemàtiques. A vegades s'anomenen "demostracions formals" a causa del seu rigor, encara que els lògics utilitzen el terme "demostració formal" per referir-se a un tipus completament diferent de demostració.
La segona concepció, la lògica, és la demostració formal que no està escrita en llenguatge natural, sinó que utilitza un llenguatge formal, que consisteix en certes cadenes de símbols d'un alfabet fix. Això permet definir el concepte de demostració formal sense cap ambigüitat. El camp de la teoria de la demostració estudia les demostracions formals i les seves propietats.
Malgrat que cada demostració informal es pot convertir, en teoria, en una demostració formal, això no es fa gaire bé mai a la pràctica. L'estudi de les demostracions formals s'utilitza per determinar propietats de demostrabilitat en general, i per veure que algunes proposicions indecidibles no es poden demostrar.
Una qüestió clàssica en filosofia és preguntar-se si les demostracions matemàtiques són analítiques o sintètiques. Kant, qui va introduir la distinció analític/sintètic, creia que les demostracions matemàtiques eren sintètiques.Willard Van Orman Quine argumentava que les demostracions matemàtiques eren expressions analítiques, que es basaven en observacions empíriques o fets. , Two Dogmas of Empiricism
Les demostracions es poden veure com objectes estètics,Hardy considerava que no hi havia lloc en el món per a les matemàtiques lletges. admirats per la seva bellesa matemàtica. El matemàtic Paul Erdős, conegut per descriure demostracions, va trobar especialment elegant com si vingués de "The Book", un hipotètic llibre que contenia els mètodes de demostració més macos per cada teorema. El llibre Proofs from THE BOOK, publicat el 2003, es dedica a presentar 32 demostracions que els seus editors troben particularment maques.
Mètodes de demostració Demostració elemental Una demostració elemental és una demostració en la que s'utilitzen únicament tècniques bàsiques., pàgina 5. Aquest terme s'utilitza en la teoria de nombres per a referir-se a demostracions que no utilitzen anàlisi complexa. Durant temps es creia que alguns teoremes com el teorema dels nombres primers només es podien demostrar utilitzant matemàtiques "d'alt nivell". Amb el temps, molts d'aquests resultats s'han demostrat utilitzant només tècniques elementals.
Demostració a dues columnes miniatura|Una demostració a dos columnes publicada el 1913
Una forma particular de demostració utilitzant dues columnes paral·leles s'utilitza sovint en les classes de geometria elemental.Patricio G. Herbst, Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Demostració in the Early Twentieth Century, Educational Studies in Mathematics, Vol. 49, No. 3 (2002), p. 283-312, La demostració s'escriu com una sèrie de línies en dues columnes. A cada línia, la columna de l'esquerra conté una proposició, mentre que la columna de la dreta conté l'explicació de si aquesta proposició és, o bé un axioma, o bé una hipòtesi, o bé pot ser obtinguda a partir de les línies anteriors.
Demostració directa En una demostració directa (o demostració per deducció), la conclusió s'estableix combinant lògicament els axiomes, les definicions i els teoremes prèviament demostrats., pàgina 52. Per exemple, una demostració directa es pot utilitzar per establir que la suma de dos nombres enters parells, sempre dona un nombre parell:
Siguin i dos nombres enters parells qualsevol. Com que tots dos són parells, es poden escriure i per a alguns enters i , ja que tant com són múltiples de 2. Però la suma també és múltiple de 2, per tant és parell per definició.
Aquesta demostració utilitza la definició de nombre parell, la clausura algebraica dels enters per a la suma i la multiplicació i la propietat distributiva.
Demostració per inducció matemàtica
La inducció matemàtica no és una forma de raonament inductiu. En una demostració per inducció matemàtica, primer de tot s'ha de demostrar que un "cas inicial" és cert, i llavors la s'utilitza la "regla d'inducció en els naturals" per demostrar un seguit d'altre casos (sovint infinits casos)., pàgina 205 i ss. Com que s'ha demostrat que el cas inicial és cert, la resta d'infinits altres casos també han de ser certs, encara que tots no es demostrin directament, ja que són un nombre infinit. Un subconjunt d'inducció és un mètode del descens infinit. Es va utilitzar un mètode de descens infinit per demostrar que l'arrel de 2 és irracional.
El principi d'inducció matemàtica diu que: Sigui ℕ = {1, 2, 3, 4, ...} el conjunt dels nombres naturals i una propietat matemàtica en la que intervé el nombre natural ∈ ℕ, tal que: 1) és cert, per exemple, és cert per 2) és cert si és cert, és a dir, que és cert implica que és cert. Aleshores és cert per a tots els nombres naturals .
Els matemàtics utilitzen sovint el terme "demostració per inducció" com a abreviatura per a demostració per inducció matemàtica.(en anglès) Demostració per inducció , University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology Malgrat això, el terme "demostració per inducció" també es pot utilitzar en lògica per a significar una argumentació que utilitza raonament inductiu.
Demostració per transposició La demostració per transposició s'aprofita del principi lògic anomenat modus tollendo tollens; mitjançant el qual podem afirmar que si p aleshores q, però no q, aleshores no p: (p→q) ∧ ¬q → ¬p., pàgina 53.
Per exemple, la contraposició es pot emprar per demostrar que si és parell, aleshores també és parell: si no és parell, aleshores és senar, i també serà senar. Com que no hi ha cap no parell que tingui com a quadrat un parell, aleshores tots els quadrats que siguin parells, tenen arrel quadrada parell.
Demostració per reducció a l'absurd
En una Demostració per reducció a l'absurd (provinent de l'expressió llatina reductio ad absurdum), es demostra que si una proposició és certa, aleshores se'n dedueix una contradicció lògica, per tant la proposició no pot ser certa., pàgina 54. Aquest mètode és tal vegada el més utilitzat per a les demostracions matemàtiques. Una demostració famosa que utilitza la reducció a l'absurd és la de la irracionalitat de :
Suposem que és un nombre racional, llavors , on i són nombres enters diferents de zero amb cap factor en comú (definició de nombre racional). Per tant, . Elevant al quadrat les dues bandes obtenim . Com que 2 divideix al membre de l'esquerra, 2 també ha de dividir al membre de la dreta (ja que tots dos són iguals i enters), Per tant, ha de ser parell (divisible per 2), el que implica que també ha de ser parell. Per tant, es pot escriure , on és també un nombre enter. Substituint en l'equació inicial obtenim . Al dividir els dos membres per obtenim . Però aleshores, aplicant el mateix argument que abans, divideix . Per tant, també ha de ser parell. Però i , per definició, no poden compartir cap factor comú, i ja hem vist que tots dos comparteixen el factor 2. Això contradiu les nostres afirmacions inicials i, per tant, hem de concloure que és un nombre irracional, perquè no existeix cap i que compleixin .
Demostració per construcció