miniatura|Leonhard Euler En Matemàtiques, i més precisament en teoria analítica dels nombres, un producte d'Euler és un desenvolupament en producte infinit, indexat pels nombres primers.Es trobada tanmateix també l'expressió de producte eulerià per a desenvolupaments en producte infinit, tals com el (descobert per Euler) de sin(x)/x, i que ara s'anomena més aviat producte de Weierstrass
Permet mesurar el repartiment dels nombres primers i està íntimament vinculat a la Funció zeta de Riemann.
Rep aquest nom en honor del matemàtic Leonhard Euler .
Història Treballs d'Euler Càlcul d'Euler Euler busca avaluar el repartiment dels nombres primers en el conjunt dels quals aquí es nota P. Per això, estableix la fórmula següent:
Aquí Re(s) designa la part real de s.
Euler dona al terme de l'esquerra el nom de funció zeta, està definida sobre el semi-pla complex per:
Aquesta funció es perllonga analíticament sobre el conjunt del pla complex en una funció meromorfa.
Altres productes eulerians Caràcter de Dirichlet
Dirichlet desitja demostrar que els nombres primers en una classe m de Z/nZ són en nombre infinit, si m i n ón primers entre ells. Utilitza els caràcters que avui porten el seu nom i, en el transcurs d'un càlcul explicat en el paràgraf Producte d'Euler de l'article principal, arriba al producte següent:
Aquí χ designa un caràcter de Dirichlet, el conjunt dels caràcters es nota i s representa un nombre real estrictament superior a u. Dirichlet estableix llavors una família de productes eulerians:
En efecte, la funció és completament multiplicativa, el càlcul d'Euler s'aplica de la mateixa manera.
La funció L(s) s'anomena sèrie L de Dirichlet del caràcter χ.
La convergència és absoluta si s és un nombre complex amb una part real > 1. Per continuació analítica, aquesta funció pot ser estesa a una funció meromorfa sobre el pla complex enter.
Les sèries L de Dirichlet són les generalitzacions directes de la funció zeta de Riemann i apareixen com preeminents en la hipòtesi de Riemann generalitzada.
Generalització En General, una sèrie de Dirichlet de la forma
on és una funció multiplicativa de n es pot escriure sota la forma
on és la suma
.
De fet, si es consideren aquestes com les funcions generatrius formals, l'existència de tal desenvolupament formal en producte eulérià és una condició suficient i necessària perquè sigui multiplicativa: es diu exactament que és el producte de quan n factoritza el producte de potències dels nombres primers diferents p.
En la pràctica, tots els casos importants són tals que la sèrie infinita i el desenvolupament en producte infinit són absolument convergents en una certa regió
és a dir en un cert semi-pla dret dels nombres complexos. Allò dona ja algunes informacions, ja que el producte infinit, per convergir, ha de donar un valor diferent de zero; per tant la funció donada per la sèrie infinita no és zero en tal semi-pla.
Un cas particular important és en el qual és una progressió geomètrica, ja que és completament multiplicativa. Llavors, es tindrà
com és el cas per a la funció zeta de Riemann (amb ), i més generalment per als caràcters de Dirichlet. En la teoria de les formes modulars és típic tenir productes eulerians en el denominador dels polinomis quadràtics. El programa de Langlands general inclou una explicació comparativa de la connexió dels polinomis de grau m, i la teoria de les representacions per a .
Notes i referències Notes
Referències Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane La fonction Zêta, Éditions de l'École polytechnique Paris 2002 Harold Davenport's Multiplicative number theory, 3ème edt Springer 2000 Karatsuba Basic analytic number theory, Springer-Verlag 1993 S. J. Patterson An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function Cambridge University Press 1995 .
Enllaços externs Leonhard Euler per la Universitat de St Andrew Infinitely many primes, with analysis par La Universitat de Montréal de Andrew Granville i K. Soundararajan
Categoria:Teoria de nombres Categoria:Anàlisi complexa