Aquest article mostra una llista matemàtica dels grups finits d'ordre baix (una cardinalitat de fins a 16 elements) classificats per isomorfisme de grups.

Amb aquesta llista es pot determinar a quin grup conegut és isomorf un grup finit G donat: Cerqueu primer l'ordre de G, seguidament cerqueu els candidats per aquell ordre a la llista. Si sabeu si G és o no és abelià potser podreu descartar alguns candidats. Per a distingir entre els candidats restants podeu mirar l'ordre dels elements de G i comparar-los amb els ordres dels elements dels candidats.

Terminologia El signe d'igualtat "=" denota isomorfisme de grups.

Cn: el grup cíclic d'ordre n (es correspon amb el grup additiu de ℤ/nℤ, denotat de vegades ℤn). Dn: el grup dièdric d'ordre 2n (de vegades s'usa la notació D2n o D2,n) Sn: el grup simètric que conté les n! permutacions d'un conjunt de n elements. An: el grup alternat amb les n!/2 permutacions de Sn que tenen signe parell. Dicn: el grup dicíclic d'ordre 4n.

La notació G × H indica el producte directe de dos grups; Gn indica el producte directe d'un grup amb ell mateix n vegades. vol dir el producte semidirecte on H actua sobre G; si l'acció particular de H sobre G s'omet és que totes les accions no trivials possibles donen el mateix grup producte llevat d'isomorfisme.

S'indiquen els que són grups abelians i els que són grups simples. (Per als grups d'ordre n < 60, els grups simples són exactament els grups cíclics Cn, per a n primer).

L'element neutre està representat per un cercle negre als grafs dels cicles. L'ordre més petit per al qual el graf no representa unívocament un grup és ordre 16.

A les llistes de subgrups, el grup trivial i el mateix grup no apareixen indicats. Als casos on hi ha múltiples subgrups isomorfs, el nombre d'aparicions s'indica entre parèntesis.

Llista de grups abelians petits Els grups abelians finits es classifiquen fàcilment: són grups cíclics o els seus productes directes. El teorema xinès del residu ens pot ajudar a trobar els isomorfismes amb aquests productes directes. Els grups abelians finitament generats també es poden classificar. Vegeu més informació a l'article grup abelià.

Ordre Grup Subgrups Propietats Graf dels cicles 1 grup trivial = C1 = S1 = A₂ - trivialment té propietats diverses center|Graf dels cicles per al grup trivial 2 C₂ = S₂ = D1 - simple, el grup no trivial més petit center|Graf dels cicles per al grup C2 3 C₃ = A₃ - simple center|Graf dels cicles per al grup C3 4 C₄ C₂    center|Graf dels cicles per al grup C4 Grup de Klein = C₂ × C₂ = D₂ C₂ (3) el grup no cíclic més petit center|Graf dels cicles per al grup de Klein D2 5 C₅ - simple center|Graf dels cicles per al grup C5 6 C₆ = C₃ × C₂ C₃, C₂   center|Graf dels cicles per al grup C6 7 C₇ - simple center|Graf dels cicles per al grup C7 8 C₈ C₄, C₂   center|Graf dels cicles per al grup C8 C₄ × C₂ C₂², C₄ (2), C₂ (3)   center|Graf dels cicles per al grup C4 × C2 C₂3 C₂² (7), C₂ (7) center|Graf dels cicles per al grup C2^3 9 C9 C₃   center| C9 C₃² C₃ (4)   center|Graf dels cicles per al grup C3^2 10 C10 = C₅ × C₂ C₅, C₂   center| C10 11 C11 - simple center| C11 12 C₁₂ = C₄ × C₃ C₆, C₄, C₃, C₂   center| C12 C₆ × C₂ = C₃ × C₂² C₆ (3), C₃, C₂ (3), C₂²   center|Graf dels cicles per al grup C3 × C2^2 13 C13 - simple center| C13 14 C14 = C₇ × C₂ C₇, C₂   center| C14 15 C15 = C₅ × C₃ C₅, C₃   center| C15 16 C16 C₈, C₄, C₂   center| C16 C₂4 C₂ (15), C₂² (35), C₂3 (15)   center|Graf dels cicles per al grup C2^4 C₄ × C₂² C₂ (7), C₄ (4), C₂² (7), C₂3, C₄ × C₂ (6) center|Graf dels cicles per al grup C4 × C2^2 C₈ × C₂ C₂ (3), C₄ (2), C₂², C₈ (2), C₄ × C₂   center|Graf dels cicles per al grup C8 × C2 C₄² C₂ (3), C₄ (6), C₂², C₄ × C₂ (3)   center|Graf dels cicles per al grup C4^2

Llista de grups no abelians petits OrdreGrupSubgrupsPropietatsGraf dels cicles6S₃ = D₃C₃, C₂ (3)el grup no abelià més petitcenter|S3 8D₄C₄, C₂² (2), C₂ (5)center|D4Grup dels quaternions, Q₈ = Dic₂ C₄ (3), C₂el grup hamiltonià més petitcenter|Grup dels quaternions Q810D₅ C₅, C₂ (5)center|D512 D₆ = D₃ × C₂C₆, D₃ (2), C₂² (3), C₃, C₂ (7)center|D6 A₄C₂², C₃ (4), C₂ (3)el grup més petit que demostra que un grup no ha de tenir forçosament un subgrup de cada ordre que divideix l'ordre del grup: no té cap subgrup d'ordre 6 (en contra del recíproc al teorema de Lagrange, com ja indiquen els teoremes de Sylow.)center|A4Dic₃ = C₂, C₃, C₄ (3), C₆center|Dic314 D₇ C₇, C₂ (7)center|D716 D₈C₈, D₄ (2), C₂² (4), C₄, C₂ (9)center|D8D₄ × C₂D₄ (2), C₄ × C₂, C₂3 (2), C₂² (11), C₄ (2), C₂ (11)center|D4 × C2Grup generalitzat dels quaternions Q16 = Dic₄center|Grup generalitzat dels quaternions Dic4Q₈ × C₂grup hamiltoniàcenter|Q8 × C2El grup quasidièdric d'ordre 16center|Grup quasidièdric d'ordre 16El grup d'Iwasawa d'ordre 16center|grup d'Iwasawa d'ordre 16 center|C4 ⋊ C4El grup generat per les matrius de Paulicenter|grup generat per les matrius de PauliG4,4 = center|C2^2 ⋊ C4

Llibreria de grups petits Els sistemes computacionals algebraics de teoria de grups GAP i Magma contenen la «Llibreria de grups petits» que proporciona accés a descripcions de grups d'ordre baix. Es llisten els grups llevat d'isomorfisme. aquesta llibreria conté els grups següents: Tots els grups d'ordre com a molt 2000, excepte en l'ordre 1024. Són 423.164.062 grups. Els d'ordre 1024 no apareixen: només comptant els 2-grups d'ordre 1024 no isomorfs n'hi ha 49.487.365.422. Els d'un ordre lliure de cubs i com a molt 50.000. Són 395.703 grups. Els d'un ordre lliure de quadrats. Els d'ordre pn per a n fins a 6 i p un nombre primer. Els d'ordre p7 per a p essent 3, 5, 7 o 11. Són 907.489 grups. Els d'ordre qn⋅p on qn divideix 28, 3⁶, 5⁵ o 74 i el nombre p és un primer arbitrari diferent de q. Aquells l'ordre dels quals factoritza en tres primer com a molt.

Conté descripcions explícites dels grups disponibles en format ordinador.

Vegeu també Grup (matemàtiques) Introducció a la teoria de grups Teoria de grups Grup finit Grup abelià finit Grup simple Llista de grups finits simples

Enllaços externs

Referències

Categoria:Llistes de matemàtiques Categoria:Teoria de grups