En anàlisi matemàtica, les distribucions (o funcions generalitzades) són objectes que generalitzen funcions. Les distribucions fan possible diferenciar funcions la derivada de les quals no existeix en el sentit clàssic. En particular, qualsevol funció localment integrable té una derivada distribucional. Les distribucions es fan servir àmpliament per formular solucions generalitzades d'equacions diferencials en derivades parcials. On una solució clàssica pot no existir o ser molt difícil d'establir, una solució de distribució a una equació diferencial és sovint molt més fàcil. Les distribucions són també importants en física i enginyeria on molts problemes condueixen de manera natural a equacions diferencials les solucions o les condicions inicials de les quals són distribucions, com la distribució de delta de Dirac.
Les funcions generalitzades van ser introduïdes per Serguei Sóbolev el 1935. Varen ser re-introduïdes durant els últims anys de la dècada del 1940 per Laurent Schwartz, qui va desenvolupar una teoria completa de distribucions.
Idea bàsica La idea bàsica és posar en correspondència amb funcions alguns funcionals lineals abstractes en un espai de funcions test no problemàtic. Els operadors sobre distribucions es poden entendre movent-los a la funció de test.
Per exemple, sia f : R → R
una funció localment integrable, i sia φ : R → R
una funció infinitament diferenciable amb suport compacte (és a dir idènticament zero a fora d'algun conjunt fitat). La funció φ és una "funció de test". Llavors es posa .
(Amb l'estrella es denota que f* representa el funcional lineal corresponent a f). Això és un nombre real que depèn de φ linealment i contínuament. f* és un funcional lineal continu en l'espai que consisteix en totes les "funcions de test" φ.
De manera similar, si P és una distribució de probabilitat en els reals i φ és una funció de test, llavors
és un nombre real que depèn de φ contínua i linealment: així les distribucions de probabilitat també poden ser vistes com a funcionals lineals continus en l'espai de funcions de test. Aquesta idea de "funcional lineal continu en l'espai de funcions de test" és la que es fa servir com la definició d'una distribució.
Tals distribucions es poden multiplicar per nombres reals i es poden sumar entre elles, per tant formen un espai vectorial real. En general no és possible definir una multiplicació per a distribucions, però les distribucions es poden multiplicar per funcions infinitament diferenciables.
Per definir la derivada d'una distribució, primer es considera el cas d'una funció diferenciable i integrable f : R → R. Si φ és una funció de test, llavors es té
aplicant la integració per parts (fixeu-vos que φ és zero a fora d'un conjunt fitat i que per tant no cal tenir en compte cap valor als extrems de l'interval). Això suggereix que si S és una distribució, s'hauria de definir la seva derivada S' per
.
Resulta que aquesta és la definició adequada; estén la definició ordinària de derivada, totes les distribucions esdevenen infinitament diferenciables i es compleixen les propietats habituals de les derivats.
Exemple: La delta de Dirac (anomenada funció de delta de Dirac) és la distribució definida per
És la derivada de la Funció esglaó de Heaviside: Per a qualsevol funció de test
així . Fixeu-vos que a causa del suport compacte. De manera similar, la derivada de la delta de Dirac és la distribució
Aquesta última distribució és el primer exemple d'una distribució que no és ni una funció ni una distribució de probabilitat.
Funcions de test i distribucions A continuació, es definiran formalment les distribucions amb valors reals en un subconjunt obert U de Rn. Amb modificacions menors, també es poden definir distribucions amb valors complexos, i es pot substituir Rn per alguna varietat diferenciable paracompacte.
El primer objecte a definir és l'espai D(U) de funcions de test en U. Una vegada estan definides, llavors cal proveir-lo amb una topologia definint el límit d'una successió d'elements de D(U). L'espai de distribucions apareixerà llavors com l'espai de funcionals lineals continus en D(U).
Espai de funcions de test L'espai D(U) de funcions de test en U es defineix de la manera següent. Una funció φ : U → R es diu que té suport compacte si existeix un subconjunt compacte K de U tal que φ(x) = 0 per a tot x en U \ K. Els elements de D(U) són funcions infinitament diferenciables φ : U → R amb suport compacte. Això és un espai vectorial real. Es pot donar una topologia definint el límit d'una successió d'elements de D(U). Una successió (φk) en D(U) es diu que convergeix a φ ∈ D(U) si es compleixen les dues condicions següents :
Hi ha un conjunt compacte K ⊂ U que conté els suports de tot φk:
Per a cada multiíndex α, la successió de derivades parcials D αφk tendeix uniformement a D αφ.
Amb aquesta definició, D(U) esdevé un espai vectorial topològic localment convex complet que satisfà la propietat de Heine-Borel . Si U i és una família niada numerable de subconjunts oberts de U amb clausures compactes , llavors
on DK i és el conjunt de totes les funcions infinitament derivables amb suport dins K i. La topologia D(U) és la topologia final de la família d'espais mètrics niats DKi i així D(U) és un espai LF. La topologia no és metrizable pel Teorema de categories de Baire, ja que D(U) és la unió de subespais de la primera categoria en D(U) .
Distribucions Una distribució en U és un funcional lineal S : D(U) → R amb valors en R (o C), tal que
per a qualsevol successió convergent φn en D(U). L'espai de totes les distribucions en U es nota per D' (U). De forma equivalent, l'espai vectorial D' (U) és l'espai dual continu de l'espai vectorial topològic D(U).
L'aparellament dual entre una distribució S en D′(U) i una funció de test φ en D(U) es nota així:
Proveït amb la topologia feble, l'espai D' (U) és un espai vectorial topològic localment convex. En particular, una successió (Sk) en D' ( U) convergeix a una distribució S si i només si
per a totes les funcions de test φ. Aquest és el cas si i només si S k convergeix uniformement a S en tots els subconjunts fitats de D(U). (Un subconjunt E de D(U) és fitat si existeix un subconjunt compacte K de U i nombres dn tals que tot φ en E té el seu suport en K i té les seves derivades n-èsimes fitades per dn.)
Funcions com distribucions La funció ƒ : U → R s'anomena localment integrable si és Lebesgue integrable sobre cada subconjunt compacte K de U. Això és una classe vasta de funcions que inclou totes les funcions contínues i totes les funcions Lp. La topologia en D(U) es defineix de tal manera que qualsevol funció localment integrable ƒ dona lloc a un funcional lineal continu en D(U) — és a dir, un element de D′(U) — notat aquí per Tƒ, el valor del qual sobre la funció de test φ ve donat per la integral Lebesgue:
Si ƒ i g són dues funcions localment integrables, llavors les distribucions associades Tƒ i Tg són iguals al mateix element de D' (U) si i només si ƒ i g són iguals gairebé a tot arreu (vegeu, per exemple ). De manera similar, totes les mesures de Radon μ en U defineixen un element de D' (U) el valor del qual sobre la funció de test φ és ∫φ dμ. Com més amunt, és convencional abusar de la notació i escriure l'aparellament entre una mesura de Radon μ i una funció de test φ com . Recíprocament, en essència pel Teorema de representació de Riesz, totes les distribucions que són no negatives sobre funcions no negatives són d'aquesta forma per a alguna Mesura de Radon (positiva).
Les funcions de test són elles mateixes localment integrables i, per tant, defineix distribucions. Com a tals són denses en D'(U) respecte a la topologia en D'(U) en el sentit que per a qualsevol distribució S ∈ D'(U), hi ha una successió φn ∈ D(U) tal que
per a tot ψ ∈ D(U). Això resulta immediatament del Teorema de Hahn-Banach, ja que per un fet elemental sobre topologies febles el dual de D'(U) amb la seva topologia feble* és l'espai D(U) . Això també es pot demostrar més constructivament per un argument de convolució.
Operacions en distribucions Moltes operacions que es defineixen en funcions infinitament derivables amb suport compacte també es poden definir per a distribucions. En general, si
és una funció lineal d'espais vectorials que és contínua respecte a la topologia feble, llavors és possible estendre T a una funció
passant al límit. (Aquest enfocament també funciona per funcions no lineals més generals, a condició que se suposi que són uniformement contínues.)
En la pràctica, tanmateix, és més convenient definir operacions en distribucions per mitjà del traspost (o transformació adjunta) (; ). Si T : D(U) → D(U) és un operador lineal continu, llavors el traspost és un operador T* : D(U) → D(U) tal que
per a tot φ, ψ ∈ D(U). Si tal operador T* existeix, i és continu, llavors l'operador original T pot ser estès a distribucions definint
Diferenciació Si T : D(U) → D(U) ve donat per la derivada parcial
Integrant per parts, si φ i ψ són en D(U), llavors
de manera que T* = −T. Això és una transformació lineal continua D(U) → D(U). Així, si S ∈ D'(U) és una distribució, llavors la derivada parcial de S respecte a la coordenada xk es defineix per la fórmula
per a tota funció de test φ. D'aquesta manera, totes les distribucions són infinitament diferenciables, i la derivada en la direcció xk és un operador lineal en D′(U). En general, si α = (α1...αn) és un multiíndex arbitrari i ∂α denota l'operador de derivada parcial mixta associat, la derivada parcial mixta ∂αSde la distribució S∈ D′(U) es defineix per
La diferenciació de distribucions és un operador continu sobre D'(U); això és una propietat important i desitjable que no és compartida per moltes altres nocions de diferenciació.
Multiplicació per una funció derivable Si m : U → R és una funció infinitament diferenciable i S és una distribució en U, llavors el producte mS es defineix per (mS)(φ) = S(mφ) per a totes les funcions de test φ. Aquesta definició coincideix la transformació transposada de
per a φ ∈ D(U). Llavors, per a qualsevol funció de prova ψ
de manera que T m* = T m. Multiplicació d'una distribució S per la funció infinitament derivable m és per tant definida per
Sota multiplicació per funcions infinitament derivables D'(U) és un mòdul sobre l'anell C∞(D). Amb aquesta definició de multiplicació per una funció infinitament derivable, la regla del producte ordinària de càlcul roman vàlida. Tanmateix, també sorgeixen un cert nombre d'identitats inusuals. Per exemple, la distribució delta de Dirac δ es defineix a R per δ, φ = φ(0), i la seva derivada ve donada per δ', φ = −δ, φ' = −φ'(0). Tanmateix, el producte mδ'; és la distribució
Aquesta definició de multiplicació també fa possible definir l'operació d'un operador diferencial lineal amb coeficients infinitament derivables sobre una distribució. Un operador diferencial lineal transforma una distribució S ∈ D'(U) en una altra distribució donada per una suma de la forma
on els coeficients pα són funcions infinitament derivables en U. Si P és un operador diferencial donat, llavors el mínim enter k per al qual tal expansió es compleix per a totes les distribucions S s'anomena lordre de P. El transposat de P ve donat per
L'espai D'(U) és un D-mòdul respecte a l'acció de l'anell d'operadors diferencials lineals.
Composició amb una funció derivable Sia S una distribució en un conjunt obert U ⊂ Rn. Sia V un conjunt obert de Rn, i F : V → U. Llavors donat que F és una submersió, és possible definir
Això és la composició de la distribució S amb F, que també s'anomena el pullback de S al llarg de F, a vegades s'escriu
El pullback es nota sovint F *, però aquesta notació té el risc de confondre's amb l'ús citat de '*' per denotar la transposada d'una aplicació lineal.