miniatura|La representació de la funció mitjançant coloració de dominis, que posa en evidència els seus tres zeros (dels quals un és doble) i els seus dos pols. Lanàlisi complexa és la branca de les matemàtiques que investiga les funcions de nombres complexos, i que es fonamenta en conceptes bàsics de funció, límit, continuïtat, derivada i integral, i és d'una gran utilitat pràctica en moltes branques de la física com per exemple la hidrodinàmica i l'enginyeria elèctrica, nuclear, mecànica i aeroespecial.

L'anàlisi complexa es refereix particularment a les funcions analítiques de variables complexes, conegudes com a funcions holomorfes. Les funcions holomorfes estan íntimament relacionades amb les funcions harmòniques, que són les funcions anul·lades per l'operador de Laplace, el qual apareix en moltes equacions de la física matemàtica. A diferència del que passa amb les funcions reals diferenciables, una funció holomorfa és sempre infinitament diferenciable i igual a la suma de la seva sèrie de Taylor en alguns veïnat en cada punt del seu domini. Això fa que els mètodes i els resultat de l'anàlisi complexa siguin significativament diferents dels de l'anàlisi real. Les funcions complexes també es comporten de forma diferent sota la integració de contorn: la integral d'una funció holomorfa sobre un contorn en el pla complex no depèn dels detalls del contorn, només depèn de com envolta les singularitats de la funció. Poder moure un contorn a un de més adient permet fer grans simplificacions en demostracions.

La teoria de diverses variables complexes generalitza la teoria de funcions complexes d'una variable a més d'una dimensió complexa. Així com moltes de les tècniques d'una sola variable complexa s'utilitzen i es generalitzen en aquest context, la teoria de diverses variables complexes utilitza tècniques addicionals com l'àlgebra de Banach i la teoria de feixos. Normalment es dedica en qüestions d'interès en els camps de la geometria algebraica i dels espais simètrics.

Funcions complexes miniatura|320px|Una funció exponencial d'una variable discreta (un enter) , similar a la progressió geomètrica Una funció complexa és una funció en la qual la variable independent i la variable dependent són ambdues nombres complexos. Amb més precisió, una funció complexa és una funció definida en un subconjunt del pla complex amb valors complexos.

Per a qualsevol funció complexa, tant la variable independent com la dependent poden separar-se en les seves components real i imaginària: , , on .

D'aquí es desprèn que les components de la funció, i , es poden interpretar com a funcions reals de dues variables reals i .

L'extensió de funcions reals (exponencials, logaritmes, funcions trigonomètriques) al domini complex s'utilitza normalment com a introducció a l'anàlisi complexa.

Una funció complexa és contínua si i només si la seva funció vectorial vectorial associada de dues variables és també contínua. Tanmateix, aquesta definició no aplica a la propietat de diferenciabilitat. La definició de la derivada d'una funció complexa és molt similar a la de les funcions reals, però la diferenciabilitat de la funció real associada de dues variables no implica que la derivada d'una funció complexa existeixi. En particular, si una funció complexa té un derivada, té derivades de tots els ordres i és igual a la suma de la seva sèrie de Taylor en un veïnat en cada punt del seu domini.

En conseqüència, dues funcions diferenciables que són iguals en un veïnat d'un punt són iguals en la intersecció dels seus dominis sempre que els dominis siguin connexos. Aquesta darrera propietat és la base del principi de continuació analítica, que permet estendre tota funció analítica real o complexa d'una única manera per obtenir una funció analítica complexa que tingui per domini tot el pla complex traient un nombre finit d'arcs corbs. Moltes funció complexes bàsiques i especials són definides d'aquesta manera, inclosa l'exponencial complexa, el logaritme complex, i les funcions trigonomètriques en el pla complex.

Funcions holomorfes Les funcions holomorfes són funcions complexes definides en un subconjunt obert del pla complex que són diferenciables en sentit complex. La diferenciabilitat complexa té conseqüències molt més fortes que la diferenciabilitat usual (en sentit real). Per exemple, les funcions holomorfes són infinitament diferenciables, un fet que està lluny de ser cert per a les funcions diferenciables reals.

En el context de l'anàlisi complexa, es defineix la derivada de en el punt com

Superficialment, aquesta definició és formalment anàloga a la de la derivada d'una funció real. Tanmateix, les derivades complexes i les funcions diferenciables es comporten de maneres significativament diferents comparades amb les seves anàlogues reals. En particular, per tal que existeixi aquest límit, el valor del quocient diferència ha d'apropar-se al mateix nombre complex, independentment de com hom s'aproxima a en el pla complex. En conseqüència, la diferenciabilitat complexa té unes implicacions molt més fortes que la diferenciabilitat real. Per exemlpe, les funcions holomòrfes són infinitament diferenciables, mentre que l'existència de l'n-èssima derivada no implica l'existència de la derivada (n+1)-èssima, per a funcions reals. És més, totes les funcions holomòrfes són analítiques, condició més forta, en el sentit que la funció és, en tots els punts del seu domini, donada localment per una sèrie de potències convergents. En essència, això vol dir que es poden aproximar totes les funcions holomòrfes en de forma arbitràriament precisa a partir de polinomis en un veïnat de cada punt en . Això contrasta molt amb les funcions reals diferenciables; hi ha un nombre infinit de funcions reals diferenciables que no són analítiques enlloc, vegi's Funcions suaus no analítiques.

La majoria de funcions elementals, inclosa la funció exponencial, les funcions trigonomètriques i totes les funcions polinòmiques, esteses convenientment a arguments complexos com a funcions són holomòrfes en tot el pla complex, fet que les converteix en funcions enteres, mentre que les funcions racionals , on p i q són polinomis, són holomòrfes en dominis que exclouen els punts en què q és zero. Tals funcions que són holomòrfes pertot menys en un conjunt de punts aïllats reben el nom de funcions meromòrfiques. D'altra banda, les funcions i no són holomòrfes enlloc del pla complex, com es veu de seguida en no satisfer les condicions de Cauchy–Riemann (veure més avall).

Una propietat important de les funcions holomòrfes és la relació entre les derivades parcials de les seves components real i imaginària, coneguda com les condicions de Cauchy-Riemann. Sigui , definida com on és holomòrfa en una regió llavors, per tot ,

En termes de les parts real i imaginària de la funció, u i v, això és equivalent a la parella d'equacions i , on els sub-índexs indiquen diferenciació parcial. Tanmateix, les condicions de Cauchy-Riemann no caracteritzen les funcions holomorfes, sense condicions addicionals de continuïtat (vegi's teorema de Looman–Menchoff).

Les funcions holomorfes exhibeixen certs trets destacables. Per exemple, el teorema de Picard afirma que el recorregut d'una funció entera pot prendre només tres formes possibles: o bé per un cert En altres paraules, si dos nombres complexos diferents i no estan en el recorregut d'una funció entera llavors és una funció constant. A més, una funció holomorfa en un conjunt obert connex és determinada per la seva restricció a qualsevol subconjunt obert no buit.

Resultats principals miniatura|262px|Gràfic de la roda de colors de la funció . La tonalitat representa l'argument, mentre que la brillantor representa la magnitud. Una eina central en l'anàlisi complexa és la integral de línia. La integral al voltant d'un camí tancat d'una funció que és holomorfa en tots els punts dins de l'àrea envoltada pel camí tancat és sempre zero; aquest és el teorema de Cauchy. Els valors d'una funció holomorfa dins un disc es poden calcular per una certa integral de camí sobre la frontera del disc (fórmula integral de Cauchy). Les integrals de camí en el pla complex s'usen sovint per a determinar integrals reals complicades, i aquí és on la teoria dels residus és útil. Si una funció té un "pol" o "singularitat" en algun punt, això significa que en aquest punt el valor de la funció "s'escapa" i no té valor finit, aleshores es pot calcular el residu de la funció en aquest pol, i aquests residus es poden utilitzar per a calcular integrals de camí que involucren la funció; aquest és el contingut del teorema dels residus. El comportament de les funcions holomorfes prop de les singularitats essencials es descriu en el Teorema de Casorati-Weierstrass. Les funcions que tenen només pols però no singularitats essencials s'anomenen meromorfes.

Les sèries de Laurent són semblants a les sèries de Taylor però es poden utilitzar per a estudiar el comportament de les funcions prop de les singularitats.

Una funció fitada que és holomorfa en tot el pla complex ha de ser constant; aquest és el teorema de Liouville. Es pot utilitzar per a donar una demostració natural i curta del teorema fonamental de l'àlgebra, que afirma que el cos dels nombres complexos és algebraicament tancat.

Una propietat important de les funcions holomorfes és que si una funció és holomorfa en tot un domini aleshores els seus valors estan unívocament determinats pels seus valors en qualsevol subdomini d'aquest. Això permet l'extensió de la definició de funcions com ara la funció zeta de Riemann que estan inicialment definides en termes de sumes infinites, que convergeixen només en dominis limitats, a gairebé tot el pla complex. Alguns cops, com en el cas del logaritme natural, és impossible continuar analíticament una funció holomorfa a un domini no simplement connex en el pla complex, però és possible estendre-la a una funció holomorfa en una superfície molt relacionada amb aquest domini, coneguda com a superfície de Riemann.

Tot això es refereix a l'anàlisi complexa en una variable. També hi ha una teoria molt rica d'anàlisi complexa en diverses variables on les propietats analítiques com el desenvolupament en sèrie de potències continuen essent certes, mentre que moltes de les propietats geomètriques de les funcions holomorfes en una dimensió complexa (com ara la conformitat) ja no són vàlides. El teorema de la representació conforme de Riemann, sobre les relacions conformes de certs dominis en el pla complex, un dels resultats més importants en la teoria unidimensional, falla dramàticament en dimensions superiors.

Les funcions de variable complexa també s'apliquen a molts camps de l'enginyeria, per exemple en l'enginyeria de l'energia.

Història miniatura|170px|Augustin-Louis Cauchy, un dels fundadors de l'anàlisi complexa L'anàlisi complexa és una de les branques clàssiques de les matemàtiques amb les seves arrels al , tot i que anteriorment ja s'havia fet alguna cosa en aquesta línia. Alguns matemàtics importants en aquesta branca són Euler, Gauss, Georg Friedrich Bernhard Riemann, Cauchy, Weierstrass, i molts d'altres al .

Tradicionalment, l'anàlisi complexa, en particular la teoria de les aplicacions conformes, té moltes aplicacions en l'enginyeria, però també s'usa en tota la teoria analítica de nombres. En els temps moderns ha esdevingut molt popular a través de la nova alça de la dinàmica complexa i els dibuixos de fractals produïts per iteracions de funcions holomorfes, essent el més popular el conjunt de Mandelbrot. Una altra aplicació important de l'anàlisi complexa avui en dia és en teoria de cordes, que és una teoria de camps quàntics conformement invariant.

Referències

Vegeu també Resurgència Domini de Fatou Bieberbach Transformada de Berezin Càlcul vectorial

Bibliografia Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]