miniatura|Les còniques són de tres tipus: paràboles (1); el·lipses, incloent-hi circumferències (2); i hipèrboles (3). miniatura|Tipus de seccions còniques Una secció cònica, corba cònica o quadràtica és una corba obtinguda com la intersecció de la superfície d'un con amb un pla. Els tres tipus de secció cònica són la hipèrbola, la paràbola i l'el·lipse; el cercle és un cas especial de l'el·lipse, tot i que de vegades es considerava un quart tipus. Els matemàtics grecs antics van estudiar les seccions còniques, culminant al voltant del 200 aC amb el treball sistemàtic d'Apol·loni de Perge sobre les seves propietats.
Les seccions còniques del pla euclidià tenen diverses propietats distintives, moltes de les quals es poden utilitzar com a definicions alternatives. Una d'aquestes propietats defineix una cònica no circular com el conjunt d'aquells punts les distàncies dels quals a un punt concret, anomenat focus, i a una recta concreta, anomenada directriu, estan en una relació fixa, anomenada excentricitat . El tipus de cònica està determinat pel valor de l'excentricitat. En geometria analítica, una cònica es pot definir com una corba algebraica plana de grau 2; és a dir, com el conjunt de punts les coordenades dels quals satisfan una equació quadràtica en dues variables que es pot escriure de la forma Les propietats geomètriques de la cònica es poden deduir de la seva equació.
En el pla euclidià, els tres tipus de seccions còniques semblen força diferents, però comparteixen moltes propietats. En estendre el pla euclidià per incloure una recta a l'infinit, obtenint un pla projectiu, la diferència aparent s'esvaeix: les branques d'una hipèrbola es troben en dos punts a l'infinit, convertint-la en una única corba tancada; i els dos extrems d'una paràbola es troben per convertir-la en una corba tancada tangent a la recta a l'infinit. Una extensió addicional, expandint les coordenades reals per admetre coordenades complexes, proporciona els mitjans per veure aquesta unificació algebraicament.
Etimologia La primera definició coneguda de secció cònica sorgeix en l'antiga Grècia, al voltant de l'any 340 a. C., (Menecme) quan van ser definides com seccions «d'un con circular recte».Oswald Veblen, John Wesley Young, Projective Geometry, vol I, Ginn & Co. Ed. (1910) Els noms d'hipèrbola, paràbola i el·lipse es deuen a Apol·loni de Perge.
Actualment, les seccions còniques poder definir-se de diverses maneres; aquestes definicions provenen de les diverses branques de les matemàtiques com la geometria analítica, la geometria projectiva, etc.
Característiques miniatura|Paràmetres d'una el·lipse: 2a eix major; 2b eix menor; ℓ semilatus Una secció cònica o cònica és una corba definida en un pla, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de la forma:
en què A, B i C no són tots tres nuls.
Les seccions còniques són exactament aquelles corbes que, per a un punt F, una línia de L que no conté F i un nombre no negatiu e, són els llocs geomètrics dels punts la distància dels quals a F és igual a e vegades la seva distància a L. F s'anomena focus, L la directriu, i e l'excentricitat.
L'excentricitat lineal (c) és la distància entre el centre i el focus (o qualsevol dels dos focus).
El latus rectum (2ℓ) és la corda paral·lela a la directriu i que passa pel focus (o qualsevol dels dos focus).
El semilatus rectum (ℓ) és la meitat del latus rectum.
El paràmetre focal (p) és la distància des del focus (o qualsevol dels dos focus) a la directriu.
Es tenen les relacions següents:
Diversos paràmetres s'associen amb una secció cònica, com es mostra en la taula següent. (Per a l'el·lipse, la taula dona el cas d, per als quals l'eix major és horitzontal; per al cas invers, l'intercanvi dels símbols a i b. Per a la hipèrbola, l'oest a l'est. En tots els casos, a i b són positius.)
secció cònica equació excentricitat (e) excentricitat lineal (c) semilatus rectum (ℓ) paràmetre focal (p) CircumferènciaEl·lipseParàbolaHipèrbola
Visió geomètrica miniatura|Tipus de seccions còniques
Es pot demostrar que, donat un polinomi quadràtic, sempre és possible trobar un con, real o imaginari, amb una intersecció amb el pla que ve donada pel polinomi d'origen. En el cas real, és fàcil trobar les diferents possibilitats:
Si el pla no passa pel vèrtex del con, segons l'angle d'intersecció ens trobarem: El·lipse: una corba tancada. Un cas particular d'el·lipse és una circumferència si el pla de l'el·lipse és perpendicular a l'eix del con, és a dir, paral·lel a la base. Paràbola: una corba oberta. Hipèrbola: dues corbes obertes. Si el pla passa pel vèrtex del con: Un punt Una recta Dues rectes.
Les còniques no són res més que un cas particular de quàdriques, com les projeccions d'una superfície cònica sobre el pla.
Forma canònica L'anterior equació la podem escriure de la forma matricial
En què:
Segons la forma canònica que adopti la matriu , trobem les diferents solucions que tenen les còniques ( són valors reals, diferents de ):
el·lipse imaginàriael·lipse realdues rectes imaginàries no paral·leleshipèrboladues rectes reals no paral·lelesparàboladues rectes imaginàries paral·lelesdues rectes reals paral·lelesdues rectes coincidentsuna recta real
També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla.
Geometria euclidiana miniatura|Tipus de seccions còniques:
3: Paràbola 4: Hipèrbola Les seccions còniques s'han estudiat durant milers d'anys i han proporcionat una rica font de resultats interessants i bells en geometria euclidiana.
Definició Una cònica és la corba que s'obté com la intersecció d'un pla, anomenat pla de tall, amb la superfície d'un con doble (un con amb dues làmines ). Normalment se suposa que el con és un con circular recte per facilitar-ne la descripció, però això no és necessari; qualsevol con doble amb alguna secció transversal circular serà suficient. Els plans que passen pel vèrtex del con intersecten el con en un punt, una línia o un parell de línies que es creuen. Aquestes s'anomenen còniques degenerades i alguns autors no les consideren en absolut còniques. A menys que s'indiqui el contrari, "cònica" en aquest article es referirà a una cònica no degenerada.
Hi ha tres tipus de còniques: l'el·lipse, la paràbola i la hipèrbola. El cercle és un tipus especial d'el·lipse, tot i que històricament Apol·loni el considerava un quart tipus. Les el·lipses sorgeixen quan la intersecció del con i el pla és una corba tancada. El cercle s'obté quan el pla tallant és paral·lel al pla del cercle generador del con; per a un con recte, això significa que el pla tallant és perpendicular a l'eix. Si el pla tallant és paral·lel a exactament una línia generadora del con, aleshores la cònica no té límits i s'anomena paràbola . En el cas restant, la figura és una hipèrbola : el pla interseca les dues meitats del con, produint dues corbes no limitades separades.
Compareu també la secció esfèrica (intersecció d'un pla amb una esfera, que produeix un cercle o punt) i la cònica esfèrica (intersecció d'un con el·líptic amb una esfera concèntrica). miniatura|Seccions còniques d' excentricitat variable que comparteixen un punt focal i una línia directriu, incloent-hi una el·lipse (vermell, ), una paràbola (verd, ) i una hipèrbola (blau, ). La cònica d'excentricitat en aquesta figura és un cercle infinitesimal centrat en el focus, i la cònica d'excentricitat és un parell de línies infinitament separades.Un cercle de radi finit té una directriu infinitament distant, mentre que un parell de línies de separació finita tenen un focus infinitament distant.
Excentricitat, focus i directriu Alternativament, es pot definir una secció cònica purament en termes de geometria plana: és el lloc geomètric de tots els punts la distància dels quals a un punt fix (anomenat focus) és un múltiple constant (anomenat excentricitat) de la distància de a una recta fixa (anomenada directriu ). Per a obtenim una el·lipse, per a una paràbola i per a una hipèrbola.
Un cercle és un cas límit i no està definit per un focus i una directriu en el pla euclidià. L'excentricitat d'un cercle es defineix com a zero i el seu focus és el centre del cercle, però la seva directriu només es pot prendre com la recta a l'infinit en el pla projectiu.
L'excentricitat d'una el·lipse es pot veure com una mesura de quant es desvia l'el·lipse de ser circular.Cohen, D., Precalculus: With Unit Circle Trigonometry (Stamford: Thomson Brooks/Cole, 2006), p. 844.
Si l'angle entre la superfície del con i el seu eix és i l'angle entre el pla de tall i l'eix és l'excentricitat és
L'ús d'esferes de Dandelin facilita la demostració que les corbes anteriors definides per la propietat focus-directora són les mateixes que les obtingudes pels plans que intersecten un con.;
Alternativament, una el·lipse es pot definir en termes de dos punts focals, com el lloc geomètric dels punts per als quals la suma de les distàncies als dos focus és ; mentre que una hipèrbola és el lloc geomètric per al qual la diferència de distàncies és . (Aquí és el semieix major definit a continuació.) Una paràbola també es pot definir en termes del seu focus i la línia del latus rectum (paral·lela a la directriu i que passa pel focus): és el lloc geomètric dels punts la distància dels quals al focus més o menys la distància a la línia és igual a ; més si el punt es troba entre la directriu i el latus rectum, menys en cas contrari. miniatura|Paràmetres cònics en el cas d'una el·lipse
Paràmetres cònics A més de l'excentricitat (), els focus i la directriu, diverses característiques geomètriques i longituds s'associen amb una secció cònica.
L'eix principal és la línia que uneix els focus d'una el·lipse o hipèrbola, i el seu punt mig és el centre de la corba. Una paràbola no té centre.
Lexcentricitat lineal () és la distància entre el centre i un focus.
El latus rectum és la corda paral·lela a la directriu i que passa per un focus; la seva meitat de la longitud és el semi-latus rectum ().
El paràmetre focal () és la distància des d'un focus fins a la directriu corresponent.
L'''eix major és la corda entre els dos vèrtexs: la corda més llarga d'una el·lipse, la corda més curta entre les branques d'una hipèrbola. La seva semilongitud és el semieix major (). Quan una el·lipse o hipèrbola es troba en posició estàndard com a les equacions següents, amb focus a l'eix i centre a l'origen, els vèrtexs de la cònica tenen coordenades i , amb valor no negatiu.
Leix menor és el diàmetre més curt d'una el·lipse, i la seva meitat de la longitud és el semieix menor (), el mateix valor que a l'equació estàndard següent. Per analogia, per a una hipèrbola el paràmetre de l'equació estàndard també s'anomena semieix menor.
Es compleixen les relacions següents:
Per a còniques en posició estàndard, aquests paràmetres tenen els valors següents, prenent . secció cònicaequacióexcentricitat (e)excentricitat lineal (c)semilat recte (ℓ)paràmetre focal (p)cercleel·lipseparàbolaN/Ahiperbola
Formes estàndard en coordenades cartesianes miniatura|Formes estàndard d'una el·lipse Després d'introduir les coordenades cartesianes, la propietat focus-directora es pot utilitzar per produir les equacions que satisfan els punts de la secció cònica. Mitjançant un canvi de coordenades (rotació i translació d'eixos), aquestes equacions es poden posar en formes estàndard. Per a el·lipses i hipèrboles, una forma estàndard té l'eix com a eix principal i l'origen (0,0) com a centre. Els vèrtexs són i els focus . Definiu mitjançant les equacions a una el·lipse i a una hipèrbola. Per a un cercle, de manera , amb radi . Per a la paràbola, la forma estàndard té el focus a l'eix en el punt i la directriu la recta amb equació . En forma estàndard, la paràbola sempre passarà per l'origen.