miniatura|Esfera aplanada Un el·lipsoide de referència és un el·lipsoide que s'utilitza com un marc de referència en càlculs geodèsics. Es tracta d'una forma de la Terra, amb la que és més fàcil treballar que amb el geoide. És relativament fàcil de descriure l'el·lipsoide de referència emprant fórmules matemàtiques. La descripció del geoide és molt més complexa, ja que comporta realitzar mesuraments molt precisos. En els primers models s'emprava l'esfera, utilitzada ja des de l'antiga Grècia.
Al , hi havia dubtes sobre si la Terra era una esfera perfecta. El 1688, Isaac Newton va resoldre una controvèrsia amb Giovanni Domenico Cassini demostrant matemàticament que la rotació de la Terra generava un aplanament a la zona dels pols, i no a l'equador. A la pràctica això no va ser demostrat fins mig segle més tard, per part de Pierre Bouguer i Alexis Claude Clairaut. Ambdós van fer fer unes expedicions al Perú i a Lapònia (1735-1741), respectivament. Va ser la comparació d'ambdós resultats que va permetre demostrar aquest fet.
El mesurament de l'arc de meridià va portar el 1791 a la definició del metre com la deumilionèsima part de la distància idealitzada entre el pol i l'equador. A causa de diferents errors en el mesurament, que va resultar ser un 0.022% massa curt, es va redefinir en dues ocasions, el 1793, i el 1799. El valor de 1799 segueix sent la definició oficial, tot i que és un 0.197‰ massa curt. El 1983, el metre va ser redefinit com la distància que recorre la llum en el buit, en una certa quantitat de temps.
La Terra va ser considerada durant molt de temps com a esfèrica, primer per Parmènides (c. 515-450 aC) principalment per motius estètics i geomètrics, després per Plató (c. 428-348 aC.) per a qui la forma dels eclipsis lunars mostra que l'ombra projectada de la Terra és sempre circular. Aquesta idea d'una Terra esfèrica serà gradualment substituïda per la idea que la Terra té una forma el·lipsoïdal.
Tipus Hi ha dos tipus d'el·lipsoide: mitjà i referència.
Un conjunt de dades que descriu la mitjana global de la curvatura de la superfície de la Terra s'anomena el·lipsoide terrestre mitjà. Es refereix a una coherència teòrica entre la latitud geogràfica i la curvatura meridional del geoide. Aquest últim està a prop del nivell mitjà del mar i, per tant, un el·lipsoide terrestre ideal té el mateix volum que el geoide.
Tot i que l'el·lipsoide mitjà de la Terra és la base ideal de la geodèsia global, per a les xarxes regionals l'anomenat el·lipsoide de referència pot ser la millor opció. Quan les mesures geodèsiques s'han de calcular en una superfície de referència matemàtica, aquesta superfície hauria de tenir una curvatura similar a la del geoide regional; en cas contrari, la reducció de les mesures obtindrà petites distorsions.
Aquesta és la raó de la «llarga vida» dels antics el·lipsoides de referència com l'el·lipsoide de Hayford o l'el·lipsoide de Bessel, malgrat que els seus eixos principals es desvien en diversos centenars de metres dels valors moderns. Un altre motiu és judicial: les coordenades de milions de límits haurien de romandre fixes durant un llarg període. Si la seva superfície de referència canvia, les coordenades també canvien.
Tanmateix, per a les xarxes internacionals, el posicionament GPS o l'astronàutica, aquestes raons regionals són menys rellevants. Com que el coneixement de la figura de la Terra és cada cop més precís, la Unió Geocientífica Internacional IUGG sol adaptar els eixos de l'el·lipsoide de la Terra a les millors dades disponibles.
El·lipsoide de referència En geodèsia, un el·lipsoide de referència és una superfície definida matemàticament que s'aproxima al geoide, que és la figura més veritable i imperfecta de la Terra o un altre cos planetari, a diferència d'una esfera perfecta, llisa i inalterada, que té en compte les ondulacions de la gravetat dels cossos a causa de les variacions en la composició i la densitat de l'interior, així com el posterior aplanament provocat per la força centrífuga de la rotació d'aquests objectes massius (per als cossos planetaris que sí que giren). A causa de la seva relativa simplicitat, els el·lipsoides de referència s'utilitzen com a superfície preferida sobre la qual es realitzen càlculs de xarxes geodèsiques i es defineixen coordenades puntuals com ara la latitud, la longitud i l'elevació.
En el context de l'estandardització i les aplicacions geogràfiques, un el·lipsoide de referència geodèsic és el model matemàtic utilitzat com a base per les definicions de sistemes de referència espacial o dades geodèsiques.
Paràmetres el·lipsoides El 1687 Isaac Newton va publicar els Principia en què va incloure una prova que un cos fluid autogravitador giratori en equilibri pren la forma d'un el·lipsoide de revolució aplanat ("oblat"), generat per una el·lipse girada al voltant del seu diàmetre menor; una forma que va anomenar un esferoide oblat.
En geofísica, geodèsia i àrees relacionades, la paraula "el·lipsoide" s'entén com a "el·lipsoide oblat de la revolució", i el terme antic "esferoide oblat" gairebé no s'utilitza.Torge, W (2001) Geodesy (3a edició, publicat per de Gruyter, Per als cossos que no es poden aproximar bé amb un el·lipsoide de revolució s'utilitza un el·lipsoide triaxial (o escalè).
La forma d'un el·lipsoide de revolució està determinada pels paràmetres de forma d'aquesta el·lipse. El semieix major de l'el·lipse, , es converteix en el radi equatorial de l'el·lipsoide: el semieix menor de l'el·lipse, , es converteix en la distància del centre a qualsevol dels pols. Aquestes dues longituds especifiquen completament la forma de l'el·lipsoide.
En les publicacions de geodèsia, però, és habitual especificar el semieix major (radi equatorial) i l'aplatament , definit com:
És a dir, és la quantitat d'aplanament a cada pol, en relació amb el radi a l'equador. Això s'expressa sovint com una fracció 1/ ; essent aleshores el "aplanament invers". En geodèsia s'utilitzen molts altres paràmetres d'el·lipse, però tots poden estar relacionats amb un o dos del conjunt , i .
En el passat s'han utilitzat molts el·lipsoides per modelar la Terra, amb diferents valors assumits d’ i , així com diferents posicions assumides del centre i diferents orientacions dels eixos respecte a la Terra sòlida. A partir de finals del , les mesures millorades de les òrbites dels satèl·lits i les posicions de les estrelles han proporcionat determinacions extremadament precises del centre de masses de la Terra i del seu eix de revolució; i aquests paràmetres s'han adoptat també per a tots els el·lipsoides de referència moderns.
L'el·lipsoide WGS-84, molt utilitzat per a la cartografia i la navegació per satèl·lit té propera a 1/300 (més precisament, 1/298,257223563, per definició), corresponent a una diferència dels semieixos major i menor d'aproximadament 21 km, més exactament, 21,3846857548205 km). En comparació, la Lluna de la Terra és encara menys el·líptica, amb un aplanament inferior a 1/825, mentre que Júpiter és visiblement oblat al voltant de 1/15 i una de les llunes triaxials de Saturn, Telesto, està molt aplanada, amb entre 1/3 i 1/2 (és a dir que el diàmetre polar està entre el 50% i el 67% de l'equatorial.
Determinació La mesura de l'arc és el mètode històric per determinar l'el·lipsoide. Dues mesures d'arc de meridià permetran la derivació de dos paràmetres necessaris per especificar un el·lipsoide de referència. Per exemple, si les mesures es fessin hipotèticament exactament sobre el pla de l'equador i qualsevol dels pols geogràfics, els radis de curvatura així obtinguts estarien relacionats amb el radi equatorial i el radi polar, respectivament a i b (vegeu: Radi polar i equatorial de la Terra de curvatura). Aleshores, l'aplanament seguiria fàcilment de la seva definició:
.
Per a dues mesures d'arc cadascuna a latituds mitjanes arbitràries , , la solució parteix d'una aproximació inicial del radi equatorial i per a l'aplanament . El radi de curvatura meridional teòric de la Terra es pot calcular a la latitud de cada mesura d'arc com:
on . Aleshores es poden formar discrepàncies entre els valors empírics i teòrics del radi de curvatura . Finalment, correccions per al radi equatorial inicial i l'aplanament es pot resoldre mitjançant un sistema d'equacions lineals formulat mitjançant la linealització de :
on les derivades parcials són:
Els arcs més llargs amb múltiples determinacions de latitud intermèdia poden determinar completament l'el·lipsoide que millor s'ajusta a la regió enquestada. A la pràctica, s'utilitzen múltiples mesures d'arc per determinar els paràmetres el·lipsoides pel mètode d'ajust de mínims quadrats. Els paràmetres determinats solen ser el semieix major, , i qualsevol dels semieixos menors, , aplanament o excentricitat.
Els efectes sistemàtics a escala regional observats en les mesures del radi de curvatura reflecteixen l'ondulació del geoide i la deflexió de la vertical, tal com s'explora en l'anivellament astrogeodèsic.
La gravimetria és una altra tècnica per determinar l'aplanament de la Terra, segons el teorema de Clairaut.
La geodèsia moderna ja no utilitza simples arcs de meridians o xarxes de triangulació terrestre, sinó els mètodes de geodèsia per satèl·lit, especialment la gravimetria per satèl·lit.
Primeres idees que la Terra no és esfèrica, sinó el·lipsoidal miniatura|Giovanni Cassini amb, al fons, l'Observatori de París del qual va ser el primer director Els primers indicis que la Terra en el seu conjunt és lleugerament el·lipsoidal són de naturalesa empírica i teòrica. Així, Giovanni Cassini havia observat ja el 1666 que Júpiter estava fortament aplanat. Aquest descobriment també l'havia fet a Anglaterra John Flamsteed. L'aplanament implicat és d'aproximadament 1/15. Era temptador posar aquest fet en relació amb la ràpida rotació de Júpiter sobre si mateix en una mica menys de 10 hores. El mateix va passar amb Saturn. Per analogia, era natural pensar que la Terra mateixa estava una mica aplanada.
D'altra banda, l'observació de Jean Richer mostrant que la longitud del pèndol que bategava el segon era més gran a París que a Cayenne era coneguda per Newton i Huyghens, i va despertar la seva reflexió. Huyghens en va deduir en el seu Discurs sobre la causa de la gravetat, publicat el 1690, que la Terra és un cos aplanat de revolució i, tenint en compte la força centrífuga de la qual ell mateix havia fet la teoria, trobaSi denotem amb ω la velocitat angular de la rotació de la Terra i amb m la relació ω²R/g de l'acceleració centrífuga equatorial ω²R a l'acceleració de la gravetat g, la mesura astronòmica de ω combinada amb el resultat obtingut per Picard per al valor del radi terrestre R proporciona aproximadament m = 1/289. Huyghens considera una Terra esfèrica que gira a la velocitat ω i es pregunta quina forma adoptaria un fluid superficial quan se sotmetés tant a l'atracció "central" de la Terra com a l'acceleració centrífuga. Composant els dos vectors, demostra que la seva resultant és normal a un esferoide d'aplanament f igual a ½m. Per tant, tenim: f = 1/576. En realitat, essent la Terra un cos deformable, totes les capes internes es troben aplanades i l'atracció no és central. Perquè l'atracció sobre la capa de fluid superficial sigui central, tota la massa hauria d'estar concentrada al centre i l'embolcall hauria de tenir una massa insignificant. Aquest model representa el cas límit d'una distribució de densitat infinitament concentrada i proporciona un límit inferior per a l'aplanament de la superfície terrestre.Œuvres complètes de Huygens , tom XXI, p.383 un aplanament d'1/578.