En matemàtiques, un Nombre de Pisot-Vijayaraghavan, també anomenat simplement Nombre de Pisot o Nombre PV, és un enter algebraic real estrictament superior a 1, que té tots els seus elements conjugats de valor absolut estrictament inferior a 1.
Per exemple, el nombre enter quadràtic , en el que i són tots dos enters o la meitat d'un enter senar, admet un conjugat ; les condicions perquè sigui Nombre de Pisot són, doncs:
Aquestes condicions són satisfetes pel nombre auri , ja que:
La condició general va ser estudiada per G. H. Hardy en relació amb un problema d'aproximació diofàntina. Aquest treball va ser estudiat per Tirukkannapuram Vijayaraghavan , un matemàtic indi de la regió de Madras que va anar a Oxford per a treballar amb Hardy a mitjans dels anys 20. Aquesta mateixa condició apareix també a certs problemes sobre les sèries de Fourier i va ser estudiat més tard per Charles Pisot. El nom, format per aquests dos autors, es fa servir actualment de forma generalitzada.
Els nombres de Pisot-Vijayaraghavan poden ser utilitzats per a generar nombres quasi enters: la n-èsima potència d'un nombre de Pisot tendeix a un enter quan tendeix a l'infinit. Per exemple,
Aquest efecte és més pronunciat en les nombres de Pisot-Vijayaraghavan engendrats a partir d'equacions de grau més alt.
Aquesta propietat prové del fet que per a cada , la suma de les n-èsimes potències d'un enter algebraic i dels seus conjugats és exactament un enter; quan és un nombre de Pisot, les n-èsimes potències dels (altres) conjuguats tendeixen vers quan tendeix vers l'infinit.
El nombre de Pisot-Vijayaraghavan més petit, conegut amb el nom de nombre plàstic ou nombre de plata, és l'única arrel real del polinomi (aproximadament 1,324717957 ...). Aquest nombre va ser identificat com el més petit per Raphaël Salem el 1944 i Carl Ludwig Siegel va demostrar que era el menor possible el mateix any. Siegel també va identificar el segon nombre de Pisot més petit com l'arrel positiva de (aproximadament 1,38027756 ...).
Llista de nombres de Pisot Nombres de Pisot inferiors a 1,618 en ordre creixent.
Valor Arrel de... 1 1,3247179572447460260 2 1,3802775690976141157 3 1,4432687912703731076 4 1,4655712318767680267 5 1,5015948035390873664 6 1,5341577449142669154 7 1,5452156497327552432 8 1,5617520677202972947 9 1,5701473121960543629 10 1,5736789683935169887 11 1,5900053739013639252 12 1,5911843056671025063 13 1,6013473337876367242 14 1,6017558616969832557 15 1,6079827279282011499 16 1,6081283851873869594 17 1,6119303965641198198 18 1,6119834212464921559 19 1,6143068232571485146 20 1,6143264149391271041 21 1,6157492027552106107 22 1,6157565175408433755 23 1,6166296843945727036 24 1,6166324353879050082 25 1,6171692963550925635 26 1,6171703361720168476 27 1,6175009054313240144 28 1,6175012998129095573 29 1,6177050699575566445 30 1,6177052198884550971 31 1,6178309287889738637 32 1,6178309858778122988 33 1,6179085817671650120 34 1,6179086035278053858 35 1,6179565199535642392 36 1,6179565282539765702 37 1,6179861253852491516 38 1,6179861285528618287
Bibliografia , Marie José et al., Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser, 1992. . , D.W., « Pisot and Salem numbers in intervals of the real line », a Mathematics of Computation, Volum 32 (1978). Pàgines 1244–1260. , Keshav. Pisot and Salem Numbers from Polynomials of Height One. Simon Fraser University. Canadà, 2007 .
Enllaços externs
Categoria:Àlgebra abstracta Categoria:Teoria de nombres