miniatura|alt=Balança buida|Aquesta balança conté zero objectes, repartits en dos grups iguals El nombre zero (0) és parell. En altres paraules, la seva paritat (la qualitat de parell o senar) és parella. La manera més senzilla de demostrar-ho és recórrer a la definició de «parell»: un nombre enter múltiple de dos (2); concretament, . En conseqüència, el zero té totes les propietats que caracteritzen els nombres parells: és divisible per 2, té un nombre senar a cada costat de la recta numèrica i constitueix la suma d'un enter amb si mateix (en aquest cas ell mateix). Un conjunt de 0 objectes es pot dividir en dos subconjunts iguals, com passa amb qualsevol conjunt de cardinalitat parella.
El zero segueix les regles formades amb els altres nombres parells. Perquè es compleixin les regles de paritat de l'aritmètica, per exemple que és necessari que 0 sigui parell. També és un element del grup d'enters parells, l'element identitat. El zero pot ser un punt de partida des del qual es defineixin inductivament els altres nombres naturals i la seva paritat. Les aplicacions d'aquesta inducció, des de la teoria de grafs fins a la geometria computacional, es basen en la paritat parella del zero. El 0 no és únicament divisible per 2, sinó per tots els enters positius. En el sistema binari que fan servir els ordinadors, és especialment rellevant que el 0 sigui divisible per cada potència de 2; en aquest sentit, el 0 és el nombre «més parell» de tots.
Entre el públic general, la paritat del zero es presta a confusió. La majoria de gent acostuma a ser més lenta classificant el 0 com a parell que no pas per fer-ho amb els nombres 2, 4, 6 o 8, per exemple. Alguns estudiants de matemàtiques, i fins i tot alguns professors, creuen que el zero és senar, parell i senar simultàniament o ni una cosa ni l'altra. Els investigadors en educació matemàtica creuen que aquestes confusions poden servir com a oportunitats d'aprenentatge. Estudiar igualtats com pot resoldre els dubtes dels estudiants sobre si el 0 és un nombre i els seus usos en l'aritmètica. Els debats a classe poden conduir els estudiants a apreciar els principis bàsics del raonament matemàtic, com per exemple la importància de les definicions. Avaluar la paritat d'aquest nombre excepcional és un exemple primerenc d'un tema omnipresent en les matemàtiques: l'abstracció d'un concepte familiar en un marc no familiar.
Per què el zero és parell La definició estàndard de «nombre parell» es pot fer servir per demostrar que el zero és parell. Es diu que un nombre és «parell» si és un enter múltiple de 2. Per exemple, el 10 és parell, ja que equival a De la mateixa manera, el zero equival a per la qual cosa és parell.: Lema B.2.2: «L'enter 0 és parell i no és senar. Demostració: Per a veure que 0 és parell hem de demostrar que existeix k tal que i això és conseqüència de la igualtat .»
També es pot explicar per què el zero és parell sense recórrer a definicions formals. discuteix aquest repte per al professor de primària, que vol donar motius matemàtics als fets matemàtics, però que té alumnes que ni usen la mateixa definició, ni l'entendrien si fos introduïda. Les explicacions a continuació donen a entendre per què el zero és parell fent servir conceptes numèrics fonamentals. Des d'aquests fonaments, es pot racionalitzar la mateixa definició —i la seva aplicabilitat al zero.
Explicacions bàsiques miniatura|La capsa amb 0 objectes no té cap objecte vermell desaparellat El zero és un nombre, i els nombres es fan servir per comptar. Donat un conjunt d'objectes, s'empra un nombre per a descriure quants objectes hi ha en el conjunt (la seva cardinalitat). El 0 descriu un conjunt sense objectes; dit de manera més formal, és el nombre d'objectes d'un conjunt buit. El concepte de paritat s'utilitza per a fer grups de dos objectes. Si els objectes d'un conjunt es poden distribuir en grups de dos, sense que en sobri cap, llavors el nombre d'objectes és parell. Si sobra un objecte, llavors el nombre d'objectes és senar. El conjunt buit inclou zero grups de dos i no sobra cap objecte, per la qual cosa el zero és parell.
Aquestes idees es poden il·lustrar dibuixant els objectes en parelles. És difícil representar zero grups de dos, o emfasitzar la inexistència d'un objecte sobrant, per la qual cosa és útil dibuixar altres grups i comparar-los amb el zero. Per exemple, al grup de cinc objectes hi ha dues parelles i, més important, hi ha un objecte desaparellat, així doncs el 5 és senar. Al grup de quatre objectes no hi ha cap objecte desaparellat, així doncs el 4 és parell. Al grup d'un sol objecte no hi ha parelles i hi ha un objecte restant, així doncs l'1 és senar. Al grup de zero objectes no hi ha objecte restant, així doncs el 0 és parell. «Zero grups de dues estrelles estan encerclats. No sobra cap estrella. Per tant, zero és un nombre parell.»
Hi ha una altra definició concreta de la qualitat de parell: si els objectes d'un conjunt es poden col·locar en dos grups de mida igual, llavors el nombre d'objectes és parell. Aquesta definició és equivalent a la primera. De nou, el zero és parell perquè el conjunt buit es pot dividir en dos grups de zero elements cada un.
Els nombres també es poden visualitzar com punts d'una recta numèrica. Quan es distingeixen els nombres parells i senars, el patró esdevé obvi, especialment si s'hi inclouen els nombres negatius: center|alt=Nombres enters del −4 al 10, els parells són cercles blancs i els senars són punts negres. Els nombres parells i senars s'alternen. Començant des de qualsevol nombre parell, comptant de dos en dos en qualsevol direcció s'obtenen altres nombres parells; no hi ha motiu per saltar el zero.; comparant la Fig. 3. «Si els nombres parells s'identifiquen d'alguna forma especial... no hi ha cap motiu per ometre el zero d'aquest patró.»
Amb la introducció de la multiplicació, la paritat es pot enfocar de manera més formal emprant expressions aritmètiques. Cada enter s'obté amb o bé amb en el primer cas el nombre és parell i en el segon és senar. Per exemple, l'1 és senar perquè i el 0 és parell perquè Si es fa una taula partint d'aquests fets es reforça la imatge de la línia numèrica anterior. «En un nivell més avançat... nombre expressats com són parells... el zero encaixa perfectament en aquest patró.»
Definició de «paritat» La definició precisa d'un concepte matemàtic, com ara que «parell» vulgui dir enter «múltiple de dos», és en efecte una convenció. A diferència de «parell», alguns conceptes matemàtics es construeixen amb el propòsit d'excloure casos trivials o degenerats. Els nombres primers en són un cas conegut. Abans del , les definicions de primeritat eren inconsistents i alguns matemàtics significatius com Goldbach, Lambert, Legendre, Cayley i Kronecker escrigueren que l'1 era primer. La definició moderna de «nombre primer» és «enter positiu amb exactament dos factors», per la qual cosa s'exclou el nombre 1. Aquesta definició es pot racionalitzar observant que encaixa de forma més natural amb els teoremes matemàtics que involucren els primers. Per exemple, el teorema fonamental de l'aritmètica és més fàcil d'exposar si l'1 no es considera primer. «L'exclusió aparentment arbitrària de l'1 de la definició de nombre primer ... no expressa cap resultat profund dels nombres: només resulta ser una convenció útil, adoptada perquè només hi hagi una única manera de factoritzar un nombre donat en producte de primers.» Per una discussió més detallada, vegeu
Seria possible redefinir el terme «parell» de forma similar perquè exclogués el zero. No obstant això, en aquest cas la nova definició dificultaria més exposar els teoremes que involucren els parells. L'efecte ja es pot observar en les regles algebraiques que governen els nombres parells i senars. Les regles més rellevants impliquen la suma, la resta i la multiplicació: parell ± parell = parell senar ± senar = parell parell × enter = parell Inserint valors apropiats a l'esquerra de les regles anteriors, es pot obtenir un 0 a la dreta: 2 − 2 = 0 −3 + 3 = 0 4 × 0 = 0
Les regles de més amunt serien incorrectes si el zero no fos parell. En el millor dels casos haurien de ser modificades. Per exemple, una guia d'estudi afirma que els nombres parells estan caracteritzats com a enters múltiples de dos, però que el zero no és «ni parell ni senar». Per tant, les regles de la guia per als nombres parells i senars contenen excepcions: parell ± parell = parell (o zero) senar ± senar = parell (o zero) parell × enter diferent de zero = parell Es donen aquestes regles, però no estan copiades literalment.
Exceptuar el zero en la definició de nombre parell obliga a fer excepcions fonamentals a les regles dels nombres parells. Des d'una altra perspectiva, és necessari que el zero sigui un nombre parell perquè es continuïn complint les regles a què obeeixen els parells positius.
Contexts matemàtics Incomptables resultats de la teoria de nombres invoquen el teorema fonamental de l'aritmètica i les propietats algebraiques dels nombres parells, per tant les decisions preses anteriorment tenen conseqüències vastes. Per exemple, el fet que els nombres positius tenguin una factorització única vol dir que es pot determinar si un nombre té un nombre parell o senar de factors primers diferents. Com que l'1 no és primer ni té factors primers, és un producte de 0 primers diferents; com que el 0 és un nombre parell, l'1 té un nombre parell de factors primers distints. Això implica que la funció de Möbius pren el valor , la qual cosa és necessària perquè sigui una funció multiplicativa i perquè funcioni la fórmula d'inversió de Möbius.
No ser senar Un nombre és senar si existeix un enter tal que . Una manera de demostrar que el zero no és senar és per reducció a l'absurd: si llavors , que no és un enter. Com que el zero no és senar, si es demostra que un nombre desconegut és senar, llavors aquest no pot ser zero. Aquesta observació aparentment trivial pot proveir una demostració convenient i reveladora que expliqui per què un nombre no és zero.
Un resultat clàssic de la teoria de grafs expressa que un graf d'ordre senar sempre té almenys un vèrtex parell. (Aquesta afirmació requereix que el zero sigui parell: un graf buit té un ordre parell i un vèrtex isolat és parell.) Per vèrtexs aïllats vegeu p. 149; per grups vegeu p. 311. Per demostrar la constatació, és més senzill demostrar un resultat més fort: qualsevol graf d'ordre senar té un «nombre senar» de vèrtexs parells. L'aparició d'aquest nombre senar s'explica amb un resultat encara més general, conegut com el lema de l'encaixada de mans: qualsevol graf té un nombre parell de vèrtexs de grau senar. Finalment, el nombre parell de vèrtexs senars s'explica de manera natural amb la fórmula per sumar graus.
El lema de Sperner és una aplicació més avançada de la mateixa estratègia. El lema afirma que un cert tipus de coloració a la triangulació d'un símplex té un subsímplex que conté tots els colors. En lloc de construir directament tal subsímplex, és més convenient demostrar que existeix un nombre senar de subsímplexs a través del mètode d'inducció. Una constatació més forta del lema explica per què aquest nombre és senar: naturalment es trenca com quan es prenen en consideració les dues orientacions possibles d'un símplex.
Alternança parell-senar miniatura|alt=0->1->2->3->4->5->6->... en colors alternants|Definició inductiva de la paritat dels nombres naturals
El fet que el zero sigui parell, juntament amb el fet que els nombres parells i senars s'alternen, és suficient per determinar la paritat de la resta de nombres naturals. Aquesta idea es pot formalitzar en una definició inductiva del conjunt de nombres naturals parells: El 0 és parell. (n + 1) és parell si i només si n no és parell.