Descartes va escriure La Géométrie l'any 1637, com un dels tres assaigs del Discurs del Mètode. El títol complet de l'obra és Discours de la Méthode pour bien conduire sa raison et chercer la verité dans les sciences plus la Dioptrique, les Météores et la Géométrie qui sont des essais de cette méthode. La va decidir escriure en llengua francesa, tot defensant:
"I si escric en francès, que és la llengua del meu país, en comptes de fer-ho en llatí, que és la dels meus preceptors, és perquè espero que els que se serveixen només de la raó natural tota pura jutjaran millor de les meves opinions que els qui no creuen sinó en els llibres antics. I, quant als qui uneixen el bon sentit amb l'estudi, que són els únics que desitjo tenir per jutges, estic segur que no seran pas tan parcials en favor del llatí que es neguin a entendre les meves raons perquè les explico en llengua vulgar."
Va ser publicada a Leiden, Holanda, anònimament, tot i que aquest fet no va aconseguir amagar la identitat de l'autor.
Una de les idees clau del mètode, i de tot el pensament cartesià, és que “el saber és u i universal". Per tant, només s'hi pot arribar per un camí. Naturalment, per a Descartes aquest camí és el mètode, que sorgeix del mètode matemàtic grec i que “al no haver-lo aplicat a cap ciència en particular, era possible aplicar-lo a qualsevol ciència." Amb aquesta idea, doncs, Descartes discrepa dels seus mestres i predecessors, que consideraven les ciències per separat, i que cada una tenia un “mètode" diferent al marge de totes les altres. Segons Descartes, s'enganyen completament, ja que “totes les ciències no són més que saviesa humana que roman sempre una i la mateixa encara que s'apliqui a matèries diferents". És per això comprensible que Descartes afegeixi tres assaigs aparentment tan disconnexos (que ell probablement ja havia madurat abans) en una mateixa obra.
A La Dioptrique estudia la llum i les seves propietats, i ho fa d'acord amb al seu punt de vista global de la ciència. Hi trobem el mecanismes de la visió humana i l'anatomia de l'ull, les lleis de la reflexió i refracció i una part dedicada a la talla de cristalls i lents i a la fabricació de telescopis i ulleres de llarga-vista, un problema important en aquell moment. En aquest text tenim, doncs, lleis físiques que cal expressar matemàticament -geomètricament-, al costat de qüestions de biologia animal i d'òptica aplicada. Pel que fa a les lleis físiques de l'òptica, el més destacat és la demostració de Descartes de la llei de Snell. Per a fer-ho enuncia tres hipòtesis: La transmissió de la llum és instantània. (tanmateix aquesta hipòtesi s'omet en la demostració). La visió es produeix pels rais lluminosos que van de l'objecte a l'ull. El buit no és possible i, per això, la llum es transmet des del Sol a través d'una substància subtil. Aquesta substància, com tota la resta de la res extensa, està lligada a les lleis de la mecànica.
A partir d'aquestes hipòtesis pot aplicar i justificar la seva demostració mecànica de les lleis de reflexió i refracció. La Dioptrique es troba amb La Géométrie en la part destinada a la fabricació de lents (concretament, a la part del Llibre segon en que tracta la construcció i propietats dels ovals).
A Les Météores, Descartes vol explicar mecànicament els fenòmens atmosfèrics més corrents: la formació de núvols, la pluja i la neu. Pren una posició que podríem anomenar atomista i tot lligant aquest assaig amb els altres i el mètode, amb les lleis de reflexió i refracció dona una explicació de la formació de l'arc del cel.
L'assaig de La Géométrie, que no formava part del seu projecte inicial, va ser elaborat amb independència dels altres dos. Es divideix en tres llibres. El primer es titula Dels problemes que es poden construir fent ús exclusiu de les circumferències i de les línies rectes; el segon, De la naturals de les línies corbes, i el tercer, De la construcció dels problemes sòlids, o més que sòlids. Són tres llibres diferents, però que estan fortament relacionats. En el Llibre primer se centra a establir bé la metodologia de la geometria i estudiar com es replantegen els problemes grecs clàssics.
En el Llibre segon planteja la necessitat d'una classificació més bona de les corbes que la tradicional de la matemàtica grega i introdueix els seus compassos trobant les equacions d'algunes corbes.
El Llibre tercer, el més algebraic dels tres, torna als problemes del primer i deixa clara la potència de les idees introduïdes al Llibre segon, resolent problemes que amb les tècniques heretades dels grecs no s'havien aconseguit resoldre. Ara, amb la seva metodologia -el mètode- pot resoldre aquestes qüestions, que abans semblaven de naturalesa diferent.
Llibre primer: Dels problemes que es poden construir fent ús exclusiu de circumferències i línies rectes De com el càlcul aritmètic està relacionat amb les operacions geomètriques miniatura|Portada del Llibre Primer de La Geometria
El llibre primer s'inicia amb la següent declaració de principis
" Tots els problemes de geometria es poden reduir amb facilitat a termes tals que, en endavant, només sigui necessari conèixer la longitud d'algunes línies per tal de poder-los construir. "
Amb altres paraules, podem reduir els problemes geomètrics a problemes de càlcul aritmètic. Per tant, per a resoldre problemes geomètrics només cal sumar, restar, multiplicar, dividir i extreure arrels a les línies que busquem per tal d'obtenir-ne de conegudes.
Laddició i la subtracció de línies s'entén de manera natural. Per a la resta d'operacions cal disposar d'una línia a la que Descartes anomena unitat, per tal de relacionar-la de la millor manera possible amb els nombres, que normalment pot agafar-se a "discreció".
miniatura|Multiplicació i divisió
Així doncs, disposant d'una línia unitat i dues línies més, trobar-ne una quarta que sigui a una de les dues com l'altra és a la unitat equival a multiplicar, mentre que trobar-ne una de quarta que sigui a una de les dues com la unitat és a l'altra equival a dividir.
miniatura|Arrel quadrada de GH
Sigui AB la unitat, si volem multiplicar BD per BC només cal unir A i C i tirar DE paral·lela a CA. Aleshores BE equival a aquest producte. Si, en canvi, volem dividir BE per BD, unim els punts E i D i tirem AC paral·lela a DE. Aleshores BC equival a aquesta divisió.
Per acabar, trobar una, dues o diverses mitjanes proporcionals entre la unitat i alguna altra línia equival a determinar l'arrel quadrada o cúbica, etc.
Si volem extreure l'arrel quadrada de GH, li afegim en línia recta la unitat FG i busquem K, punt mitjà entre F i H. Prenent K com a centre, tirem una circumferència que passi per F i H, i pel punt G aixequem una recta perpendicular a FH, que talla la circumferència en el punt I. La recta GI equival a l'arrel desitjada.
A la pràctica no sol ser necessari fer els dibuixos de totes les línies, sinó que és suficient designar-les per lletres (una lletra per a cada línia) i s'utilitza la notació aritmètica habitual per a designar les línies obtingudes realitzant les operacions aritmètiques prèviament explicades. Cal anar alerta alhora de referir-nos a expressions del tipus o , com a quadrats o cubs aprofitant els noms de l'àlgebra, ja que d'ordinari aquests tipus d'expressions indiquen línies simples.
Cal remarcar també, que quan es tracta una qüestió on no s'ha determinat la unitat, totes les parts d'una mateixa línia s'han d'expressar amb el mateix nombre de dimensions; així com en té tantes com i com . D'altra banda, quan la unitat sí que ha estat determinada, aquesta es pot sobreentendre on hi hagi excés o defecte de dimensions. Així si hem d'extreure l'arrel cúbica de , sobreentenem que la quantitat està dividida per la unitat, mentre que la quantitat està multiplicada pel quadrat de la unitat.
Per tal de no oblidar els noms de les línies, cal fer-ne una llista sempre que s'introdueixin o es canviïn.
De com s'obtenen les equacions per resoldre els problemes Per a resoldre un problema qualsevol, cal suposar d'entrada que ja està resolt, i donar nom a totes les línies que es considerin necessàries per a la seva construcció, independentment de si són conegudes o no. La dificultat del problema rau a aconseguir expressar una mateixa quantitat de dues maneres diferents; això és el que s'anomena equació, ja que els termes d'una de les expressions són iguals als de l'altra.
Per a arribar a una equació cal seguir l'ordre que sembli més natural possible per a expressar les relacions entre les línies del problema, sense fer distinció entre les que són conegudes i les que no. Cal trobar tantes equacions com línies desconegudes s'hagin introduït. Si, sense haver omès res d'allò que especifica el problema, no se'n poden trobar tantes, aleshores el problema no està totalment determinat. En aquests casos, es poden elegir arbitràriament línies de longitud coneguda per a cada una de les línies desconegudes a les quals no els correspon cap equació.
Si després de fer-ho encara queden diverses equacions, caldrà servir-se ordenadament de les que queden, considerant-les de manera aïllada o comparant-les entre elles per a explicitar cada una de les línies desconegudes. Amb aquesta finalitat, cal aconseguir que una línia desconeguda sigui igual a una de coneguda, o que el quadrat, el cub, el quadrat del quadrat, el quadrat del cub, etc. d'una línia desconeguda sigui igual a la suma o diferència de dues o més quantitats formades per una línia coneguda mentre que les altres estiguin compostes d'algunes mitjanes proporcionals entre la unitat i aquest quadrat, cub, quadrat de quadrat, quadrat de cub, etc. multiplicades per altres de conegudes.
Això es pot escriure com
D'aquesta manera es poden reduir totes les quantitats desconegudes a una de sola, sempre que el problema es pugui construir amb circumferències i línies rectes, o bé amb seccions còniques, o amb algun altre tipus de corba com a màxim un o dos graus més complexa.
Si el problema es pot resoldre fent servir només línies rectes i circumferències dibuixades sobre una superfície plana, és a dir, si es pot resoldre mitjançant geometria ordinària, quan l'última equació hagi estat desentrellada constarà, com a màxim, d'un únic quadrat desconegut, igual al producte de la seva arrel per una quantitat coneguda sumant o sostraient una altra quantitat coneguda. En aquest cas, aquesta arrel o línia desconeguda es troba amb facilitat.
De com es resolen els problemes plans miniatura|Exemple
Si per exemple tenim
considerem el triangle NLM, on el costat LM és b (arrel quadrada de la quantitat coneguda bb) i el costat LN és (la meitat de l'altra quantitat coneguda a). A la línia desconeguda l'anomenem z. Perllongant MN fins a O, de tal manera que NO sigui igual a NL, aleshores aquesta línia OM que s'obté és precisament la z desitjada, i s'expressa
Si, en canvi, considerem
considerem el mateix triangle NLM i a MN li treiem NP, on NP és igual a LN. Aleshores la línia MP que s'obté és la y desitjada, i s'expressa
Anàlogament, si l'equació fos
aleshores PM seria , i tindríem
miniatura|Exemple
Si tenim ara
fem
i . Aleshores tirem una recta paral·lela a LN passant per M. Dibuixem una circumferència amb centre N que passi per L. Aquesta circumferència talla la recta que acabem de dibuixar en els punts Q i R. La línia z pot ser MQ o MR, i s'expressa d'una d'aquestes dues formes
i
Si la circumferència de centre N que passa per L no talla ni toca la línia recta paral·lela a LN que passa per M, aleshores l'equació no té cap arrel i podem assegurar que el problema no té construcció possible.
Exemple tret de Pappos