La constant de Gelfond-Schneider, també anomenada nombre de Hilbert és igual a:
http://oeis.org/A007507
que és un nombre transcendent, segons va demostrar el matemàtic rus Rodion Kuzmin l'any 1930.Kuzmin,R. O. "On a new class of transcendental numbers", Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. 7, 1930, p.585–597,http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316 L'any 1934, Alexander Gelfond va demostrar mitjançant el teorema de Gelfond-Schneider, el cas general de potències elevades a nombres irracionals algebraics, solucionant part del setè dels problemes de Hilbert.Gelfond, Aleksandr "Sur le septième Problème de Hilbert", Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na, VII, p.623–634, 1934, http://mi.mathnet.ru/eng/izv4924
La seva fracció contínua és:
Propietats La seva arrel quadrada és també un nombre transcendent. El seu valor és: http://oeis.org/A078333
L'expressió equival a:
Aquest exemple es sol usar com a prova que un nombre irracional elevat a un nombre irracional pot donar un nombre racional, ja que:
Setè problema de Hilbert L'any 1900, en el marc del Segon Congrés Internacional de Matemàtiques celebrat a París, el matemàtic alemany David Hilbert va proposar una llista de fins a 23 problemes matemàtics per tal de motivar la comunitat matemàtica a fer avenços en la recerca durant el , que tot just començava. El setè dels problemes consistia a demostrar (o refutar mitjançant un contraexemple) que a^b és un nombre transcendent per tot valor de a algebraic diferent a 0 i 1 i per tot b algebraic irracional. En el seu discurs va donar dos exemples concrets, un dels quals era la constant de Gelfond-Schneider.
L'any 1919, en un altre discurs, va parlar de tres conjectures: la hipòtesi de Riemann, l'últim teorema de Fermat i la transcendència de la constant de Gelfond-Schneider. Va dir que no esperava que ningú de la sala arribés a veure mai la solució d'aquest últim problema. Tot i així, va ser solucionat en el seu cas general l'any 1934, amb el teorema de Gelfond-Schneider. El treball anterior de Kuzmin havia servit per demostrar la transcendència de la potència per valors de l'exponent reals irracionals quadràtics, és a dir, nombres algebraics de grau 2, solució d'una equació de segon grau de coeficients racionals.
Vegeu també Constant de Gelfond Arrel quadrada de 2
Referències
Gelfond-Schneider