Un triangle és un polígon de tres costats. En geometria euclidiana tres punts diferents no alineats defineixen sempre un únic pla i un únic triangle. La branca de les matemàtiques que tracta les relacions internes dels triangles és la trigonometria.
Història miniatura|Problemes R49→R55 del papir de Rhind
No s'ha conservat cap document matemàtic del Regne Antic d'Egipte. Però l'arquitectura monumental de les dinasties III i IV constitueix una prova destacable que els egipcis d'aquesta època tenien coneixements relativament elaborats en geometria, i en particular en l'estudi dels triangles.
miniatura|figura del triangle representat en el problema R51 del papir de Rhind
El càlcul de l'àrea del triangle s'estudia en els problemes R51 del papir de Rhind, M4, M7 i M17 del papir de Moscou que daten tots dos del Regne Mitjà. En la història mundial de les matemàtiques, el problema R51 constitueix el primer testimoni escrit que tracta del càlcul de l'àrea d'un triangle.
Enunciat del problema R51 del papir de RhindA. Buffum Chace, Rhind papyrus, pl. 73.
El terme mryt significa probablement alçada, o costat. Però la fórmula utilitzada per al càlcul de l'àrea fa inclinar la interpretació a favor de la primera solució.C. Marshall, Ancient Egyptian Science, p.70 L'escriba prenia la meitat de la base del triangle i calculava l'àrea del rectangle format per aquest costat i l'alçada, sigui
Equival a la fórmula general que es fa servir actualment :
El fet que un triangle de costats 3-4-5 és rectangle també era conegut dels antics Egipcis i Mesopotàmics. Euclides, al llibre I dels seus Elements, cap a 300 aC, enuncia la propietat de la suma dels angles del triangle i els tres casos d'igualtat dels triangles.
Tipus de triangles Classificació segons els costats Els triangles es poden classificar segons la longitud dels seus costats: Triangle equilàter és aquell en què tots tres costats tenen la mateixa llargada. Un triangle equilàter també és equiangular, és a dir, tots els seus angles interns són iguals (60 graus). Triangle isòsceles és aquell en què dos dels costats són iguals. Un triangle isòsceles també té dos angles interns iguals. Triangle escalè és el que té tots els costats de diferent longitud. Els angles interns d'un triangle escalè són tots diferents.
Classificació segons els angles Els triangles també es poden classificar segons els seus angles: Triangle rectangle té un angle intern de 90 graus (angle recte). El costat oposat a l'angle recte és la hipotenusa, que és el costat més llarg del triangle rectangle. Els altres dos costats es diuen catets. Triangle obtusangle té un angle intern de més de 90 graus (angle obtús). Triangle acutangle té els tres angles interns de menys de 90 graus (angles aguts).
Punts, línies i cercles associats a un triangle Mitjanes i centre de gravetat miniatura|esquerra|Medianes i baricentre d'un triangle
Es diu mitjana d'un triangle cadascuna de les tres rectes que passen per un vèrtex del triangle i pel punt mitjà del costat oposat a aquest vèrtex. Cadascuna de les tres medianes divideix el triangle en dos triangles d'àrees iguals. Les tres medianes d'un triangle són concurrents. El seu punt d'intersecció s'anomena centre de gravetat o baricentre del triangle. Si el triangle fos una placa sòlida homogènia, podria sostenir-se en equilibri sobre una punta posant-la exactament per aquest punt .
El centre de gravetat del triangle també és el centre de gravetat dels vèrtexs. La distància entre el baricentre i un vèrtex és 2/3 de la distància entre el vèrtex i el punt mitjà del costat oposat.
Mediatrius i circumferència circumscrita frame|Mediatrius, circumferència circumscrita i circumcentre d'un triangle.
S'anomena mediatriu d'un triangle cada una de les mediatrius dels costats.
Com que la mediatriu d'un segment és el lloc geomètric dels punts equidistants dels extrems del segment, el punt on es tallen dues de les mediatrius del triangle és equidistant dels tres vèrtexs, per tant és el centre de la circumferència que passa per tots tres i pertany a la tercera mediatriu.
Es pot afirmar que: Un triangle és obtusangle si i només si el seu circumcentre és exterior al triangle Un triangle és acutangle si i només si el seu circumcentre és interior al triangle Un triangle és rectangle si i només si el seu circumcentre és en un costat del triangle.
Bisectrius i circumferència inscrita miniatura|esquerra|Un triangle (negre) amb la circumferència inscrita, l'incentre i les bisectrius internes.
Les bisectrius d'un triangle són les tres bisectrius interiors dels seus angles.
La circumferència inscrita és la circumferència que és tangent als tres costats del triangle i el seu centre és lincentre del triangle.
La bisectriu d'un angle té la propietat de ser el lloc geomètric del centre de les circumferències que són tangents simultàniament als dos costats adjacents de l'angle, per tant el punt on es troben dues de les bisectrius és el centre de la circumferència que és tangent als tres costats del triangle, i per això la tercera bisectriu també ha de passar per aquest punt.
Altures i ortocentre frame|Altures i ortocentre d'un triangleLes altures d'un triangle són cadascuna de les tres rectes que passen per un dels seus vertex i són perpendiculars al costat oposat. Lortocentre d'un triangle és el punt on es troben les tres altures.
Propietats : Un triangle és rectangle si el seu ortocentre és un dels seus vèrtexs Un triangle és obtusangle si i només si el seu ortocentre és exterior al triangle Un triangle és acutangle si i només si el seu ortocentre és interior al triangle Cada vèrtex del triangle és l'ortocentre del triangle format pels altres dos vèrtexs i l'ortocentre del triangle original.
Recta i cercle d'Euler esquerra|frame|Circumferència dels nou punts. frame|Recta d'Euler.
L'ortocentre, el circumcentre i el baricentre d'un triangle són col·lineals (en el cas particular del triangle equilàter, tots tres coincideixen en el mateix punt, per tant hi ha infinites rectes que els contenen a tots tres). La recta que els conté es diu recta d'Euler en honor del matemàtic suís Leonhard Euler el qual va descobrir aquest fet a mitjan .
La circumferència dels nou punts, anomenada també circumferència d'Euler és una circumferència associada a cada triangle que passa per nou punts notables. Aquests punts són:La geometria del triangle Butlletí de la Secció de Matemàtiques de la Societat Catalana de Ciències Físiques, Químiques i Matemàtiques, Volum: 5: maig 1980, pàgina 34 El punt mitjà de cada costat del triangle. Els peus de les alçades Els punts mitjans dels segments determinats per l'ortocentre i els vèrtexs del triangle.
Superfície La superfície d'un triangle s'obté multiplicant la base per l'alçada (on l'alçada és un segment perpendicular que parteix de la base fins al vèrtex oposat) i dividint entre dos.
A = (b⋅h)/2.
miniatura|esquerra|Demostració gràfica de la fórmula de la superfície d'un triangle per mitjà d'obtenir un paral·lelogram d'àrea doble frame|Demostració gràfica de la fórmula de la superfície d'un triangle descomponent-lo en dos triangles rectangles.
Tot i que és senzilla, aquesta fórmula només és útil si es coneix l'altura. Per exemple per a mesurar l'àrea d'un camp triangular és fàcil mesurar la longitud de cada costat, però per a poder aplicar aquesta fórmula, cal trobar l'altura i això no és fàcil a la pràctica perquè s'ha de traçar una perpendicular a un costat que passi per un vèrtex i la distància entre el vèrtex i el costat pot ser gran. Hi ha fórmules que permeten trobar l'àrea del triangle sense saber l'altura. Tot seguit es presenten les que es fan servir més sovint
Fent servir vectors esquerra|frame|L'àrea d'un triangle calculada fent servir vectors.
L'àrea d'un paral·lelogram definit per dos vectors , és la norma del seu producte vectorial :
.
Per tant, es pot calcular l'àrea d'un triangle a partir d'aquesta fórmula:
. Aplicant la identitat de Lagrange:
Resulta que l'àrea del triangle també es pot expressar en funció del producte escalar dels vectors:
frame|esquerra|Aplicant trigonometria per a calcular l'altura h.
Aplicant trigonometria L'alçada d'un triangle es pot calcular aplicant trigonometria. Fent servir la nomenclatura de la imatge de l'esquerra, l'altura és h = a sin γ. Substituit a la fórmula A = ½bh, l'àrea del triangle es pot expressar com:
A més, com que sin α = sin (π - α) = sin (β + γ), i de forma similar per als altres dos angles:
Fent servir coordenades Si el vèrtex A coincideix amb l'origen (0, 0) d'un sistema de coordenades cartesianes i les coordenades dels altres dos vèrtexs venen donades per B = (xB, yB) i C = (xC, yC), llavors, com que el determinant de dos vectors és l'àrea orientada del paral·lelogram definit pels dos vectors, l'àrea A del triangle es pot calcular com ½ del valor absolut del determinant
Pel cas general en què cap dels tres vèrtexs coincideix amb l'origen, l'equació és:
En tres dimensions, l'àrea d'un triangle qualsevol {A = (xA, yA, zA), B = (xB, yB, zB) and C = (xC, yC, zC)} és la suma pitagòrica de les àrees de les respectives projeccions sobre els tres plans principals (és a dir x = 0, y = 0 i z = 0):
Fent servir la fórmula d'Heró La forma d'un triangle queda completament determinada per les longituds dels costats. Per tant, l'àrea A també es pot calcular a partir només de les longituds dels costats. Hom ho aconsegueix fent servir la fórmula d'Heró:
on s = ½ (a + b + c) és el semiperímetre, és a dir la meitat del perímetre del triangle.
Una forma equivalent d'escriure la fórmula d'Heró és
Aquest mètode de càlcul de l'àrea del triangle és d'una gran utilitat pràctica quan hi ha elements físics que impedeixen de poder-ne mesurar l'altura i només tenim accés a mesurar la llargada dels costats del triangle.
Propietats dels triangles Suma dels angles d'un triangle miniatura|Per demostrar que la suma dels angles d'un triangle és igual a 180 °, es perllonga la base i es traça una paral·lela al costat AB. En la Proposició 32 del Llibre I dels lements d'Euclides es demostra que la suma dels tres angles de qualsevol triangle és igual a dos rectes:
Euclides ho demostra traçant un triangle com el de la figura de la dreta, llavors perllonga la base i traça una paral·lela al costat AB. Aplicant els resultats de les proposicions sobre angles de rectes que es tallen. L'angle BCD és igual a l'angle ABC (β) perquè les rectes AB i CD són paral·leles i la recta BC les talla formant aquests angles alterns.Proposició 29 dels elements d'Euclides L'angle DCE és igual a l'angle BAC (α) perquè les rectes AB i CD són paral·leles i la recta AE les talla formant aquests angles interiors. Per tant, la suma d'ACB + BCD + DCE (que és igual a l'angle pla ACE, és a dir, dos angles rectes) també és igual a BAC + ABC + BCA (α + β + γ) que són els tres angles del triangle.
Longituds dels costats i desigualtat triangular En un triangle, la longitud d'un costat és inferior a la suma de les longituds dels altres dos costats. En altres paraules, en un triangle ABC, es verifiquen les tres desigualtats següents:
Aquesta propietat és característica dels triangles. Recíprocament. Donats tres nombres reals positius , i , si es verifiquen les tres desigualtats :
llavors, existeix un triangle en el qual els costats fan , i .
Inversament, per a verificar que existeix un triangle en el qual les longituds dels costats són , i , a la pràctica, n'hi ha prou amb verificar només una de les tres desigualtats, aquella en la qual el costat més llarg és a l'esquerra de la desigualtat (així, si , llavors l'única desigualtat a verificar és : ).
En cas d'igualtat, la desigualtat triangular permet de caracteritzar tres punts alineats:
M és un punt del segment [AB] (i per tant està alineat amb els seus extrems) si i només si : AM + MB = AB.
Finalment, la suma de les longituds dels tres costat d'un triangle és el seu perímetre.