En el camp matemàtic de la teoria de Lie, un diagrama de Dynkin, nomenat així per Eugene Dynkin, és un tipus de graf amb algunes arestes dobles o triples (dibuixades com a línies dobles o triples). Les arestes múltiples estan dirigides, dins d'algunes restriccions.
El principal interès en els diagrames de Dynkin és com un mitjà per classificar les àlgebres de Lie semisimples sobre cossos algebraicament tancats. Això dona lloc a grups de Weyl, és a dir, a molts (encara que no a tots) grups de reflexió finits. Els diagrames de Dynkin també poden sorgir en altres contextos.
El terme «diagrama de Dynkin» pot ser ambigu. En alguns casos, se suposa que els diagrames de Dynkin són dirigits, en aquest cas corresponen a sistemes d'arrels i àlgebres de Lie semisimples, mentre que en altres casos se suposa que no estan dirigits, en aquest cas corresponen a grups de Weyl; els diagrames dirigits i produeixen el mateix diagrama no orientat, anomenat corresponentment En aquest article, «diagrama de Dynkin» significa «diagrama de Dynkin dirigit», i els diagrames de Dynkin no dirigits es denominaran de manera explícita.
Història miniatura|Eugene Dynkin Els diagrames de Dynkin tenen el nom d'Eugene Dynkin, que els va utilitzar en dos articles (1946, 1947) simplificant la classificació d'àlgebres de Lie semisimples (vegeu Dynkin, 2000). Quan Dynkin va abandonar la Unió Soviètica el 1976, que aleshores es considerava equivalent a la traïció, es va dir als matemàtics soviètics que es referissin a «diagrames d'arrel simple» en lloc d'utilitzar el seu nom.
Coxeter (1934) havia utilitzat anteriorment gràf no dirigits per classificar els grups de reflexió, on els nodes corresponien a reflexos simples; Witt (1941) va utilitzar llavorsels grafs (amb informació de longitud) en referència als sistemes d'arrels, amb els nodes corresponents a arrels simples, tal com s'utilitzen avui.Why are the Dynkin diagrams E6, E7 and E8 always drawn the way they are drawn? Dynkin els va utilitzar el 1946 i 1947, reconeixent a Coxeter i Witt en el seu document de 1947.
Classificació de les àlgebres de Lie semisimples L'interès fonamental en els diagrames de Dynkin és que classifiquen les àlgebres de Lie semisimples sobre cossos algebraicament tancats. Una classificació aquestes àlgebres de Lie a través del seu sistema d'arrels, que pot ser representat per un diagrama Dynkin. A continuació, es classifica els diagrames de Dynkin segons les restriccions que han de complir, tal com es descriu a continuació.
Abandonar la direcció de les arestes del graf correspon a la substitució d'un sistema d'arrel pel grup de reflexió finita que genera, l'anomenat grup Weyl i, per tant, els diagrames Dynkin no dirigits classifiquen els grups Weyl.
Tenen la següent correspondència per a les àlgebres de Lie associades a grups clàssics sobre els nombres complexos: + àlgebra de Lie lineal especial àlgebra de Lie ortogonal especial de dimensions senars àlgebra de Lie simplèctica àlgebra de Lie ortogonal especial de dimensions parelles ()
Per als grups excepcionals, coincideixen els noms de l'àlgebra de Lie i el diagrama de Dynkin associat.
Classificacions relacionades Els diagrames de Dynkin es poden interpretar com a classificació de molts objectes diferents i relacionats, i la notació «An, Bn, ...» s'utilitza per referir-se a totes aquestes interpretacions, depenent del context; aquesta ambigüitat pot resultar confusa.
La classificació central és que una àlgebra de Lie simple té un sistema d'arrels, al qual s'associa un diagrama Dynkin (orientat); es pot referir a tots tres com Bn, per exemple.
El diagrama Dynkin no orientat és una forma del diagrama de Coxeter i correspon al grup Weyl, que és el grup de reflexió finita associat al sistema d'arrels. Així, Bn pot referir-se al diagrama no orientat (un tipus especial de diagrama de Coxeter), al grup Weyl (un grup de reflexió concret) o al grup abstracte de Coxeter.
S'ha de tenir en compte que si bé el grup Weyl és abstractament isomorf al grup de Coxeter, un isomorfisme específic depèn d'una elecció ordenada d'arrels simples. També s'ha de tenir en compte que, mentre que la notació del diagrama de Dynkin està estandarditzada, el diagrama de Coxeter i la notació de grup són variats i de vegades coincideix amb la notació del diagrama de Dynkin i de vegades no.
Finalment, de vegades els objectes associats es refereixen per la mateixa notació, encara que això no sempre es pot fer amb regularitat. Els exemples inclouen: La retícula arrel generada pel sistema arrel, com a la retícula E₈. Això es defineix de manera natural, però no un a un, per exemple, A₂ i G₂ generen tots dos la retícula hexagonal. Un polítop associat; per exemple, el polítop de Gosset 421 es pot referir com a «polítop E₈», ja que els seus vèrtexs són derivats del sistema d'arrels E₈ i té el grup E₈ Coxeter com a grup de simetria. Una forma quadràtica o múltiple associada; per exemple, la varietat E₈ té la forma d'intersecció donada per la retícula E₈.
Aquestes últimes notacions s'utilitzen principalment per a objectes associats a diagrames excepcionals; els objectes associats als diagrames regulars (A, B, C, D) tenen en lloc noms tradicionals.
L'índex (n) és igual al nombre de nodes del diagrama, el nombre d'arrels simples en una base, la dimensió de la xarxa arrel i l'entorn del sistema arrel, el nombre de generadors del grup Coxeter i el rang de l'algebra de Lie. Tanmateix, n no és igual a la dimensió del mòdul que defineix (una representació fonamental) de l'àlgebra de Lie (l'índex al diagrama de Dynkin no s'ha de confondre amb l'índex de l'algebra de Lie). Per exemple, correspon a que actua naturalment en un espai de 9 dimensions, però té el rang 4 com a àlgebra de Lie.
Els diagrames simples de Dynkinenllaçats, aquells sense múltiples arestes (A, D, E), classifiquen molts altres objectes matemàtics (vegeu classificació ADE).
Exemple: A₂ Per exemple, el símbol pot fer referència a: El diagrama de Dynkin amb 2 nodes connectats, , que també es pot interpretar com un diagrama de Coxeter. El sistema d'arrels amb dues arrels simples amb angle de rad (120 graus). L'àlgebra de Lie de rang 2. El grup de Weyl de simetries de les arrels (reflexions en el hiperplà ortogonal a les arrels), isomorfes al grup simètric (d'ordre 6). El grup Coxeter abstracte, presentat per generadors i relacions,
Construcció a partir de sistemes d'arrels miniatura|Sistema d'arrels , Considerem un sistema d'arrels, que se suposa que és reduït i integral (o «cristal·logràfic»). En moltes aplicacions, aquest sistema d'arrels sorgirà d'una àlgebra de Lie semisimple.
Fem que sigui un conjunt d'arrels simples positives. A continuació, construirem un diagrama de . Section 8.6 Formem un graf amb un vèrtex per a cada element de . A continuació, inserim les arestes entre cada parell de vèrtexs de la següent manera: Si les arrels corresponents als dos vèrtexs són ortogonals, no hi ha cap aresta entre els vèrtexs. Si l'angle entre les dues arrels és de 120º, posarem una aresta entre els vèrtexs. Si l'angle és de 135º, posarem dues arestes. Si l'angle és de 150º, posarem tres arestes.
(Aquests quatre casos extreuen tots els angles possibles entre parells d'arrels simples positives). Propositions 8.6 and 8.13
Finalment, si hi ha arestes entre un determinat parell de vèrtexs, les decorarem amb una fletxa que apunti des del vèrtex corresponent a l'arrel més llarga cap al vèrtex corresponent a l'arrel més curta (la fletxa s'omet si les arrels tenen la mateixa longitud). Pensant en la fletxa com a signe «major que» deixa clar el camí que ha d'anar la fletxa. Els diagrames de Dynkin condueixen a una classificació dels sistemes d'arrels. Tingueu en compte també que els angles i les relacions de longitud entre les arrels estan relacionats. Proposition 8.6 Així, les arestes de les arrels no-ortogonals es poden descriure alternativament com una aresta per a una relació de longitud d'1, dues arestes per a una relació de longitud de , i tres arestes per a una relació de longitud de (no hi ha arestes quan les arrels són ortogonals, independentment de la relació de longitud).
Al sistema d'arrels A₂ (que es mostra a la imatge de la dreta), les arrels etiquetades i formen una base. Atès que aquestes dues arrels es troben en un angle de 120º (amb una relació de longitud d'1), el diagrama de Dynkin consta de dos vèrtexs connectats per una sola aresta: .
Restriccions Els diagrames de Dynkin han de satisfer determinades restriccions; aquests són essencialment els satisfets per diagrames de Coxeter-Dynkin finits, juntament amb una restricció cristal·logràfica addicional.
Connexió amb diagrames de Coxeter Els diagrames de Dynkin estan estretament relacionats amb els diagrames de Coxeter de grups finits de Coxeter, i sovint la terminologia conflueix.En aquesta secció es fa referència a la classe general com a «diagrames de Coxeter» en lloc de «diagrames de Coxeter-Dynkin» per a més claredat, ja que hi ha un gran potencial de confusió i de concisió.
Els diagrames de Dynkin difereixen dels diagrames de Coxeter de grups finits en dos aspectes importants: Parcialment dirigit: Els diagrames de Dynkin són parcialment dirigits: qualsevol aresta múltiple (en termes de Coxeter, etiquetada amb «4» o superior) té una direcció (una fletxa que apunta des d'un node a l'altre); per tant, els diagrames de Dynkin tenen més dades que el diagrama de Coxeter subjacent (graf no dirigit). Al nivell de sistema d'arrels, la direcció correspon a apuntar cap al vector més curt; les arestes etiquetades com a «3» no tenen direcció perquè els vectors corresponents han de tenir la mateixa longitud. (alguns autors inverteixen aquesta convenció, amb la fletxa apuntant cap al vector més llarg). Restricció cristal·logràfica: Els diagrames de Dynkin han de satisfer una restricció addicional, és a dir, que les úniques arestes etiquetades permeses són 2, 3, 4 i 6, una restricció no compartida pels diagrames de Coxeter, de manera que no tots els diagrames de Coxeter d'un grup finit provenen d'un diagrama de Dynkin. Al nivell de sistema d'arrels, això correspon al teorema de restricció cristal·logràfica, ja que les arrels formen una xarxa.
Una altra diferència, que només és estilística, és que els diagrames de Dynkin es dibuixen convencionalment amb arestes dobles o triples entre nodes (per a p = 4, 6), en lloc d'una aresta marcada amb «p».
El terme «diagrama de Dynkin» de vegades fa referència al graf dirigit i de vegades al graf no dirigit. Per a la precisió, en aquest article «diagrama de Dynkin» significarà dirigit i el graf no orientat subjacent s'anomenarà «diagrama Dynkin no dirigit». Llavors els diagrames de Dynkin i els diagrames de Coxeter poden estar relacionats de la manera següent: cristal·logràfic grup puntual dirigit Diagrama de Dynkin no dirigit Diagrama de Dynkin no dirigit Diagrama de Coxeter de grups finits Això vol dir que els diagrames de Coxeter de grups finits corresponen a grups de punts generats per reflexos, mentre que els diagrames de Dynkin han de satisfer una restricció addicional corresponent al teorema de restricció cristal·logràfica i que els diagrames de Coxeter no estan dirigits, mentre que els diagrames de Dynkin són (parcialment) dirigits.
Els objectes matemàtics corresponents classificats pels diagrames són: cristal·logràfic grup puntual dirigitSistema d'arrels no dirigitGrup WeylGrup Coxeter finit A la part superior dreta buida, que correspon als grafs dirigits amb un graf no orientat subjacent, es pot definir formalment qualsevol diagrama de Coxeter (d'un grup finit), però és poc discutit i no sembla admetre una interpretació senzilla en termes d'objectes matemàtics d'interès.