En topologia, el conjunt de totes les topologies sobre un conjunt donat és un conjunt parcialment ordenat. Aquesta relació d'ordre pot utilitzar-se per comparar topologies.
Definició Sigui un conjunt, una topologia sobre aquest conjunt és una família de subconjunts anomenats oberts que compleixen determinades condicions.
Siguin i dues topologies sobre , aleshores la topologia és més fina que si . També, es diu que és més gruixuda o més feble que . Si la relació d'inclusió és estricta, s'afegeix el terme estrictament. Si , les topologies són equivalents.
La relació d'inclusió defineix una relació parcial d'ordre sobre el conjunt de possibles topologies sobre .
Exemples La topologia més fina sobre un conjunt donat és la topologia discreta i la topologia més gruixuda és la trivial. Sobre els reals, la topologia estàndard és més feble que la topologia de Sorgenfrey. Sobre , les topologies induïdes per la distància euclidiana, distància del màxim i distància de Manhattan són equivalents. Sobre , la topologia cofinita és més feble que la estàndard.
Propietats Siguin i dues topologies sobre . Les següents condicions són equivalents:
La funció identitat és contínua. La funció identitat és oberta.
Vegeu també Espai topològic
Bibliografia
Referències
Categoria:Topologia