El Compendi de càlcul per reintegració i comparacióEn francès: , títol admès per la «majoria dels especialistes» segons A. Djebbar, cf. IREM.En anglès: . (de l'àrab: , al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala)També abreujat a: Hisab al-jabr w’al-muqabala o Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala, entre d'altres transliteracions. és un llibre històric de matemàtiques escrit en àrab entre 813 i 833 pel matemàtic i astrònom musulmà Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí, pertanyent a la Casa de la Saviesa de Bagdad, capital del Califat Abbàssida en aquell temps.

En aquesta obra, Al-Khwarazmí exposa els fonaments de l'àlgebra, i és el primer a estudiar sistemàticament la resolució d'equacions de primer i segon grau. La paraula àlgebra deriva d'una de les operacions bàsiques amb equacions (al-ğabr) descrites en aquesta obra.

Rellevància i anàlisi Ja que no cita cap autor anterior, no és clar quins treballs previs hi utilitzà Al-Khwarazmí. Els historiadors de les matemàtiques opinen basant-se en l'anàlisi textual i en el cos de coneixements general del món musulmà contemporani. Més precises són les connexions amb la matemàtica índia, perquè Al-Khwarazmí és autor d'un altre llibre: Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind, (El llibre d'addició i subtracció segons el càlcul indi), en què discuteix el sistema de numeració índia.

El llibre és un compendi i una extensió de les regles conegudes de resolució d'equacions quadràtiques i altres problemes. L'introduí al món occidental la traducció al llatí de Robert de Chester (a mitjan ) Liber algebrae et almucabola, i donà origen, en diferents idiomes, als mots àlgebra (derivat dal-jabr) i algorisme (derivat d'Al-Khwarizmi).

El Compendi tingué molta influència durant segles, deguda sobretot a la presentació i organització del llibre, ja que s'hi exposen de manera clara i precisa un conjunt de mètodes de resolució d'equacions de segon grau.. «En general, els àrabs valoraven una bona argumentació que fos clara des de les premisses fins a la conclusió, tant com l'organització sistemàtica, qüestió en què ni Diofant ni els indis destacaren.»

Contingut Seguint la tradició de l'època, la introducció comença amb lloances a Déu, al Profeta i al califa Al-Mamun. De seguida, Al-Khwarazmí presenta l'obra; indica que li l'ha demanada el califa: és un compendi o manual, per «fer més clar el que era fosc i […] facilitar el que era difícil» per resoldre problemes concrets de còmput d'herències, mesura de terra o comerç.Djebbar, 2005, p.25.

Comença exposant el sistema de numeració decimal, i tot seguit defineix els objectes de l'àlgebra.Djebbar, 2005, p.27. Considera tres tipus d'objectes: els nombres (escrits amb paraules, designats amb el nom de la unitat monetària dírham), les arrels (qua avui escriuríem com a x) i els quadrats (que avui escriuríem com x²).

Al-Khwarazmí classifica les equacions quadràtiques en sis tipus bàsics i dona mètodes algebraics i geomètrics per resoldre'n les més simples, sense usar notacions abstractes: «l'àlgebra d'Al-Khwarazmí és retòrica, sense cap dels recursos de l'Arithmetica grega de Diofant o dels treballs de Brahmagupta. Fins i tot els nombres estan escrits amb mots en lloc de símbols!» Els sis tipus d'equació, en notació moderna, són:Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), p.228.

quadrats igual a arrels (ax² = bx) quadrats igual a nombres (ax² = c) arrels igual a nombres (bx = c) quadrats i arrels igual a nombres (ax² + bx = c) quadrats i nombres igual a arrels (ax² + c = bx) arrels i nombres igual a quadrats (bx + c = ax²)

Els matemàtics musulmans, a diferència dels hindús, no consideraven els nombres negatius, per això les equacions del tipus bx + c = 0 no apareixen en la classificació, perquè no tenen solucions positives si tots els coeficients són positius. Anàlogament, els tipus 4, 5 i 6, que semblen equivalents des de la perspectiva actual, es diferenciaven perquè els coeficients havien de ser-ne tots positius.Katz

L'operació al-ğabr (), que significa «compleció» o «restauració», consisteix a passar una quantitat deficitària d'un costat de l'equació a l'altre. En un dels exemples d'Al-Khwarazmí (en notació actual), és transformat per al-ğabr en . L'aplicació reiterada d'aquesta regla elimina les quantitats negatives dels càlculs.

L'operació al-muqabala (), que significa «balanceig» o «comparança», consisteix en la subtracció de la mateixa quantitat positiva de les dues bandes: esdevé . Si s'aplica successivament aquesta regla, les quantitats de cada tipus (quadrat/arrel/nombre) apareixen en l'equació com a màxim una vegada, i açò demostra que, en restringir-se a coeficients i solucions positives, només hi ha sis tipus diferents solubles del problema.

La darrera part del llibre exposa exemples pràctics d'aplicació d'aquestes regles, problemes aplicats a la mesura d'àrees i volums, i problemes que integren còmputs del dret àrab de successió. Cap d'aquests capítols requereix coneixements sobre resolució d'equacions quadràtiques.

Traducció i llegat Els successors d'Al-Khwarazmí perpetuaren i amplificaren el tractat en altres obres a voltes amb el mateix títol.Al-Dinawari, Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Rasāla fi l-ğabr wa-l-muqābala), Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk, Sind ibn ʿAlī, Sahl ibn Bišr (possiblement) i Sharaf al-Dīn al-Tūsī. Gerard de Cremona el tradueix al .

Només se'n conserva una còpia en àrab: és a la Universitat d'Oxford i data de 1361.Hamon, 2006. El 1831, Frederic Rosen publica una traducció a l'anglès basat en aquest manuscrit. En el prefaci, adverteix que l'escriptura és «simple i llegible», però que els signes diacrítics àrabs s'han omès, per això la comprensió de certs passatges resulta difícil.Frederic Rosen, 1831.

La novetat dels conceptes pot veure's en la dificultat de la traducció del títol. Algunes enciclopèdies recullen al-jabr com a sinònim de reducció.Trésor de la langue française informatisé, article "algèbre", etimologia. Dahan-Dalmèdic i Pfeiffer, per la seua banda, escriuen «Manual de càlcul d'al-jabr i al-muqabala».Dahan, Peiffer, p.84.

Notes de R. Rashed i Angela Armstrong:

Notes de J. J. O'Connor i I. F. Robertson:

Vegeu també Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí Matemàtica en l'islam medieval Casa de la Saviesa

Referències

Bibliografia

Les matemàtiques en l'Islam medieval, Transoxiana, Journal d'Estudis Orientals.

Bibliografia addicional Barnabas B. Hughes, ed., Robert of Chester's Latin Translation of Al-Khwarizmi's Al-Jabr: A New Critical Edition, (en llatí), Wiesbaden: F. Steiner Verlag, 1989. .

Enllaços externs

Categoria:Literatura àrab Categoria:Llibres de matemàtiques Categoria:Obres del segle IX