miniatura|Representació en color de la funció trigamma, en una regió rectangular del pla complex. En matemàtiques, la funció trigamma, denotada , és la segona de les funcions poligamma, i està definida per

.

D'aquesta definició es desprèn que

on és la funció digamma. També es pot definir com la suma de la sèrie

convertint-lo en un cas especial de la funció zeta de Hurwitz.

Tingueu en compte que les dues últimes fórmules són vàlides quan no és un nombre natural.

Representació Una representació, en forma d'integral doble, com una alternativa a una de les donades anteriorment, es pot derivar de la representació en forma de sèrie:

utilitzant la fórmula per a la suma d'una sèrie geomètrica. Integrant per parts s'obté:

Una expansió asimptòtica com una sèrie de Laurent és

(si, per exemple, es tria , obtenim nombres de Bernoulli).

Fórmules de recurrència i reflexió La funció trigamma satisfà la relació de recurrència

i la fórmula de reflexió

que immediatament dona el valor de z : .

Valors especials La funció trigamma té els següents valors especials:

on representa la constant de Catalan.

No hi ha arrels a l'eix real de , però existeixen infinitat de parells d'arrels per a . Cada parell d'arrels s'acosta ràpidament a i la seva part imaginària augmenta logarítmicament lent amb . Per exemple, i són les dues primeres arrels amb .

Relació amb la funció de Clausen La funció digamma amb arguments racionals es pot expressar en termes de funcions trigonomètriques i logaritmes pel teorema de la digamma. Un resultat similar es manté per a la funció trigamma, però les funcions circulars se substitueixen per la funció de Clausen. És a dir,

Càlcul aproximat Un mètode fàcil per obtenir un valor aproximat de la funció trigamma és prendre la derivada de l'expansió en sèrie de la funció digamma.

Aparició La funció trigamma apareix en aquesta fórmula de suma sorprenent:

Referències

Bibliografia

Vegeu també Funció gamma Funció digamma (no confondre amb la funció gamma doble). Funció poligamma (no confondre amb la funció gamma múltiple). Constant de Catalan

Categoria:Funcions especials