En matemàtiques, una -àlgebra (dita sigma-àlgebra) o tribu sobre un conjunt és una col·lecció no buida de subconjunts de que és tancada sota operacions numerables d'unió, intersecció i complementació de conjunts. La parella (,) s'anomena espai mesurable. El concepte de -àlgebra és essencial per a poder definir mesures en , amb les quals es pot assignar un nombre real als diferents subconjunts d'un determinat conjunt. El concepte de mesura, a la vegada, és fonamental en anàlisi i en la teoria moderna de probabilitat.
Definició Sigui un conjunt no buit, i sigui una col·lecció de subconjunts de . Diem que és una -àlgebra si es compleix: El conjunt buit pertany a . Si un conjunt pertany a , el seu complementari també pertany a . La unió d'una col·lecció numerable de conjunts també pertany a : En altres paraules, una col·lecció de subconjunts de és una -àlgebra si:
és no buida. és tancada sota complementació. és tancada sota unions numerables.
Exemple Donat el conjunt , una possible -àlgebra seria ja que els elements de són diferents subconjunts de , entre els quals hi ha el conjunt buit (condició 1). els complementaris de cadascun dels elements de també pertanyen a (condició 2). la tercera condició es compleix, ja que totes les possibles unions d'elements de són dins de .
Propietats El conjunt complet pertany a la 'àlgebra, (a partir dels punts 1 i 2 de la definició). Una -àlgebra és també tancada sota la intersecció numerable d'elements (a partir de 2 i 3, i fent servir les Lleis de De Morgan): si per a tot , , llavors És a dir, la intersecció d'un nombre infinit numerable de conjunts de és un conjunt que pertany a . Una -àlgebra és tancada per reunions i interseccions finites, és a dir, si , llavors ja queAnàlogament per la intersecció. Aquesta propietat mostra que una -àlgebra és una àlgebra de conjunts.
Exemples Sigui un conjunt qualsevol. Les següents col·leccions de conjunts són -àlgebres en :
La col·lecció formada només pel conjunt buit i : . La col·lecció formada pe conjunt de tots els subconjunts de , és a dir, el conjunt de les parts de : . Si , , és una família arbitrària de -àlgebres en , la intersecció de tots elles també és una -àlgebra.
-àlgebra generada per una col·lecció de conjunts Sigui una col·lecció qualsevol de subconjunts de . S'anomena -àlgebra generada (o engendrada) per , i és designa per a la menor -àlgebra que conté tots els conjunts de . Es construeix com segueix. D'entrada cal remarcar que existeix una -àlgebra en que conté la col·lecció , que és la -àlgebra del conjunt de les parts de . Si designem per la família de les -àlgebres en que contenen (és a dir, una -àlgebra en pertany a si i només si ). Llavors definim com la intersecció de tots els elements de .
Exemples . Sigui el conjunt , la -àlgebra generada pel subconjunt és }. En general, si , i no és ni ni , llavors .
-àlgebra de tipus numerable. Es diu que una -àlgebra sobre és de tipus numerable o numerablement generada si existeix una família numerable de subconjunts de que generin (vegeu l'exemple de la -àlgebra de Borel al següent paràgraf). El cas més senzill és quan està engendrada per una partició numerable de , ja que llavors està formada per les reunions disjuntes de subfamílies de la partició. Però tal com diu Neveu "Ens guardarem prou de creure que tota -àlgebra de tipus numerable es pot engendrar per una partició numerable de l'espai".
-àlgebra de Bórel
Article principal: àlgebra de Borel
Un exemple important de -àlgebra generada és la -àlgebra de Borel sobre un espai topològic: es tracta de la -àlgebra generada pels conjunts oberts (o, de manera equivalent, pels conjunts tancats). Cal remarcar que aquesta àlgebra no és, en general, el conjunt de les parts. Vegeu el conjunt de Vitali per a un exemple no-trivial.
En el cas particular de la -àlgebra de Borel sobre el conjunt dels nombres reals, donada l'estructura dels conjunts oberts i la densitat dels nombre racionals, està generada (entre altres possibilitats) pels intervals oberts d'extrems racionals; es tracta, per tant, d'una -àlgebra de tipus numerable.
En contrast amb el que passava amb una àlgebra engendrada per una família de conjunts, en general, en el cas d'una -àlgebra generada no hi ha una expressió explícita de tots els elements de la -àlgebra, ni una construcció iterativa ordinària i cal utilitzar inducció transfinita, vegeu . Així, per exemple, en el cas de la recta real, no és cert que tots els conjunts de la -àlgebra de Borel es puguin obtenir com reunions o interseccions numerables d'intervals.
-àlgebra traça Sigui (, ) un espai mesurable i un subconjunt arbitrari, aleshores la família de conjuntsés una -àlgebra sobre que s'anomena la -àlgebra traça sobre . Vegeu l'analogia amb la definició de topologia traça.
-àlgebra producte Siguin ( i () dos espais mesurables. La -àlgebra producte sobre , designada per , és la -àlgebra generada per la família de conjunts . Els conjunts de la forma anterior s'anomenen rectangles mesurables.
La següent propietat és útil per treballar amb espais producte:
Propietat. Considerem dos espais mesurables ( i ( tals que i ), amb , i que i . Aleshores
De manera similar, donats espais mesurables, , la -àlgebra producte sobre , designada per és la -àlgebra generada pels rectangles mesurables amb , ... .També és certa la propietat anterior quan la -àlgebra està generada per la família de conjunts, amb , per a .
La definició anterior s'estén al producte d'un nombre arbitrari (finit o no) d'espais mesurables (), . Aleshores a -àlgebra producte sobre, que designarem per és la -àlgebra generada pels conjunts de la forma , amb , i excepte per a una nombre finit d'índexs . Vegeu per a definicions equivalents. En el cas que sigui finit, aquesta definició inclou la a anterior.
Espai mesurable i espai de mesura Article principal: Espai de mesura
Una parella formada per un conjunt i una -àlgebra en s'anomena un espai mesurable; els elements de s'anomenen conjunts mesurables.
Una mesura en un espai mesurable és una aplicació tal que
El conjunt buit té mesura zero . És additiva (o numerablement additiva): Si són disjunts dos a dos, , per a qualsevol parell , aleshores
La terna s'anomena espai de mesura.
Discussió Les -àlgebres són necessàries per definir mesures sobre un conjunt. Una mesura en és una funció que assigna un nombre real als subconjunts de . Es pot pensar en la mesura com la noció precisa de grandària o volum aplicada a conjunts. D'entrada semblaria possible assignar un volum a cadascun dels subconjunts de ; ara bé, quan la mesura que considerem és la longitud estàndard per als subconjunts de la recta real (la mesura de Lebesgue), amb l'ajuda de l'axioma d'elecció es demostra que existeixen conjunts (conjunts de Vitali) pels quals no existeix una mesura. És per aquesta raó que es considera una col·lecció més petita de subconjunts privilegiats de , pels quals la mesura sí que està ben definida; aquests subconjunts constitueixen una -àlgebra.
Una funció entre dos espais mesurables s'anomena mesurable si l'antiimatge de cada conjunt mesurable és també un conjunt mesurable; és a dir, si (,) i (',') són dos espais mesurables, una funció : ' és diu que és mesurable si i només si per a tot ', -1() .
Vegeu també Espai de probabilitat Teoria de la mesura Espai de mesura Àlgebra de conjunts Conjunt de les parts Espai mostral σ-àlgebra de Borel
Notes
Bibliografia
Categoria:Teoria de la mesura Categoria:Probabilitat Categoria:Teoria de conjunts