La filosofia de les matemàtiques és una branca de la filosofia. Segons Michael Dummett es pot considerar que hi ha quatre preguntes fonamentals sobre el contingut de la filosofia de les matemàtiques: Com sabem que les nostres teories matemàtiques són vertaderes? Sobre què són les matemàtiques? En altres paraules, si un enunciat matemàtic és vertader, què ho fa vertader? En virtut de què és vertader? Les veritats matemàtiques són vertaderes per necessitat? I, si ho són, quina és la font d'aquesta necessitat? Com és possible aplicar les veritats matemàtiques a la realitat externa? I en què consisteix aquesta aplicació? També es plantegen altres qüestions com: Quin significat té referir-se a un objecte matemàtic? Quina és la naturalesa d'una proposició en matemàtiques? Quina relació hi ha entre lògica i matemàtica? Com s'explica la bellesa de les matemàtiques?
L'origen de les matemàtiques i l'empirisme matemàtic El naixement de les matemàtiques A les preguntes de com sabem que les proposicions matemàtiques són vertaderes i què és el que fa que una proposició matemàtica sigui vertadera podem respondre acudint a l'origen de les matemàtiques. En aquesta secció, començarem fent un breu esbós de com van poder sorgir els primers conceptes i proposicions matemàtics per després explicar com aquest sorgiment podria fer plausible certa hipòtesi sobre on cal buscar els conceptes matemàtics i què fa que les proposicions matemàtiques siguin veritables.
És indubtable que les matemàtiques tenen el seu origen en les activitats de comptar i mesurar, encara que el com sigui més difícil d'establir. La millor hipòtesi que disposem es basa en les troballes arqueològiques a Mesopotàmia (Maza, 2008).
Entre el mil·lenni VIII i IV a. n. e., van existir fitxes que tenien la funció de descriure quantitats de productes, animals o qualsevol element de l'activitat econòmica. La forma de fer-ho deu haver estat additiva durant llarg temps. Així, en cas de disposar de cinc animals, es representaria aquesta quantitat per cinc fitxes, posem per cas, en forma de cilindre. Si, en canvi, es volia registrar cinc gerres d'oli, s'emprarien cinc ovoides amb una marca. D'aquesta manera, cada fitxa representaria una unitat del producte, la naturalesa ve representada per la forma de la fitxa i la quantitat presenta una representació additiva. Amb això, tenim la condició necessària per a l'aparició dels nombres, que és l'establiment d'una correspondència un-a-un entre els elements a comptar (animals, gerres) i els elements comptables (fitxes), però encara no tenim nombres.
Però, des de molt aviat, les fitxes van haver de ser transportades en algun tipus d'embolcall, siguin bosses de cuir o similars. En algun moment, la forma de transport es va simplificar embolicant aquestes fitxes en esferes buides de fang. Aquestes bombolles d'argila poden, en moltes ocasions, presentar signes externs. Això permet formular una hipòtesi senzilla i atractiva sobre la funcionalitat de fitxes i bombolles.
Per exemple, un agricultor i un ramader volen fer un intercanvi de productes. L'un lliurarà diversos animals a canvi d'un nombre de cistells de gra. Quan arriben a l'acord, difereixen el pagament a fi que alguns dels seus treballadors vagin a les terres de l'altre per recollir l'objecte de l'intercanvi. Però, d'alguna manera, han de segellar l'acord. La forma de fer-ho serà modelar les fitxes que representin les quantitats que cadascú lliurarà i donarà a l'altre embolicades en una bombolla d'argila. D'aquesta manera, els treballadors de cada un es presenten a les terres de l'altre amb la bombolla rebuda. Allà mateix, es trenca i es trobaran les fitxes que representen allò que s'ha de lliurar al posseïdor de la bombolla.
Convé parar atenció a les marques realitzades en l'exterior de la bombolla i que s'han esmentat anteriorment, ja que se suposa que representen sobre la bombolla les fitxes que romanen dins de la bombolla, a manera de recordatori del que conté. Aquest seria el vincle entre les fitxes i els signes exteriors. Així, amb el temps, aquests signes van fent inútils les fitxes de l'interior de la bombolla. Sense les fitxes, les bombolles es van anar transformant donant pas a les tauletes en què la representació numèrica serà plana a finals del IV mil·lenni a.n.e.
Les tauletes així inventades servien per a registrar quantitats diverses del mateix producte o de productes diferents. En correspondre, per exemple, a entrades diferents pel proveïdor, o qualsevol altra circumstància, resulta adequat enregistrar també el total de la quantitat registrada. Això es feia habitualment en el revers de la tauleta. Per exemple, una tauleta que registra, en el seu anvers, cinc gerres de cervesa comprades a en tal i quatre comprades a en tal altre, en el revers estan les nou gerres agrupades. Aquest és un cas especialment simple de suma: l'únic que es fa en el revers és presentar les nou gerres agrupades. D'aquesta manera, la suma consisteix exclusivament a repetir cada un dels signes utilitzats per a explicar. Però des del punt de vista aritmètic, les quantitats a sumar poden sobrepassar la simple enumeració dels seus elements, amb el qual ens trobem en una situació més complexa. I aquesta és una de les raons de l'aparició dels sistemes de numeració, ja que és en aquest tipus de cas quan s'aplica el sistema de numeració vigent per reunir en un sol resultat l'acció aritmètica empresa. Això últim solia dependre del producte, de la mateixa manera que, per tradició, comptem els ous per dotzenes i no per desenes i, per al temps, utilitzem el sistema sexagesimal (una hora són seixanta minuts, cadascun dels quals són seixanta segons).
Les transaccions i comptabilitats comercials es realitzaven pesant els productes objecte de comerç (llana, cereal, estany, etc.) i taxant el seu valor en la plata corresponent, que actuava a manera de moneda no encunyada. Actuava en la triple funció sota la qual es constitueix la moneda: com a unitat de compte i com a mitjà d'intercanvi, ja que podia incloure's com a part de la transacció comercial, i també com a mitjà de pagament, tal com es dedueix de nombrosos documents de venda i préstecs. Els problemes algebraics que generaven aquestes transaccions van fer que els mesopotàmics fossin capaços de resoldre sistemes d'equacions lineals de fins a tres incògnites o equacions de segon grau.
Les primeres unitats de mesura semblen haver estat les referides al pes, com és de suposar donat el que s'ha dit abans. No obstant això, durant el tercer mil·lenni a.n.e., es van anar constituint unitats cada vegada més estandarditzades, tant de longitud, com de superfície o volum. Això va ser impulsat pel naixement de les ciutats estat i el creixement de les relacions comercials entre aquestes, així com entre el poble i la ciutat, fets que impulsaven l'establiment d'acords per a obtenir mesures comunes dels productes intercanviats.
Les unitats de mesura de superfície eren quadrats i rectangles (més secundàriament, els triangles) de determinades longituds en els seus costats. És fàcil adonar-se que «enllosar» mitjançant aquestes unitats requeria multiplicar, és a dir, sumar reiteradament. És per això que les escoles d'escribes havien de dedicar un cert temps a la pràctica de l'operació de multiplicar dues longituds, a la qual cal unir la pràctica subsegüent en la transformació de les unitats resultants d'aquesta operació en els seus múltiples. L'objectiu bàsic en aquest aspecte consistia a expressar el resultat de la mesura amb la menor quantitat d'unitats possible, a fi que operacions posteriors oferissin menys dificultat.
En el cas d'un triangle rectangle de catet una unitat, l'àrea es pot obtenir sense més que multiplicar la meitat de la base per l'altura, és a dir, que l'àrea d'un triangle d'aquestes característiques es pren com la meitat del quadrat de la mateixa base i alçada que el triangle, una relació que pot estendre's a qualsevol altre triangle, en particular un equilàter (que, tanmateix, presenta l'inconvenient que l'alçada no és un valor immediat, però que també es pot calcular mitjançant arrels quadrades, encara que l'algorisme utilitzat pels mesopotàmics era una mica inexacte).
Els mesopotàmics coneixien el que després s'ha anomenat el teorema de Pitàgores en el sentit que usaven longituds de corda de 3, 4 i 5 unitats de llarg per a formar un gran angle recte per a la construcció i per al mesurament de terrenys.
El mesurament de camps irregulars es feia trossejant el camp en quadrats, rectangles i triangles. D'altra banda, es poden utilitzar aquestes figures simples per a aproximar-se a superfícies curvilínies. D'una manera semblant, s'actuava amb les unitats de volum necessàries per calcular les mesures i treballs de canals i edificis.
L'empirisme matemàtic Tot el que s'ha dit anteriorment ha intentat transmetre la millor hipòtesi sobre com es van obtenir els primers conceptes i veritats matemàtics que, sens dubte, són els propis de la geometria i l'aritmètica. Però també fa plausible que els conceptes matemàtics procedeixen, en certa manera, de com és el món físic, del món que captem mitjançant el nostre sentits.
Per a John Stuart Mill (1806-1873), els conceptes matemàtics procedeixen del món físic i les veritats de la matemàtica són veritats sobre el món físic, encara que d'un caràcter més general. Les veritats matemàtiques serien les veritats més generals de totes (Dummett, 1998, pàg. 125-126).
Una posició que pot ser fàcilment confosa amb la de Mill és la de David Hume (1711-1776). Per a Hume, els conceptes matemàtics tenen el seu origen remot en la sensació que després és transformada per l'activitat de la ment, però les veritats matemàtiques són veritats sobre les relacions entre les idees, no sobre allò percebut.
En el seu Tractat de la naturalesa humana (Hume, 1739, llibre I, part II), Hume manté que els nostres sentits donen lloc a les impressions que són copiades per les nostres idees, les quals són reorganitzades per la nostra activitat mental i donen lloc a idees complexes. Un tipus d'idea complexa són les relacions i, dins d'aquestes, Hume destaca aquelles que depenen completament de la comparació d'idees: la semblança, els graus de qualitat i les proporcions de quantitat. D'aquestes, tracten les matemàtiques que, per a Hume, són bàsicament la geometria i l'aritmètica.
No obstant això, aquesta reorganització que dona lloc a les idees complexes fa que aquestes no siguin una fidel reproducció de les impressions rebudes. Hume introdueix certa creativitat de la ment mitjançant la imaginació a l'hora de produir les idees complexes de les matemàtiques, les figures i els nombres. Tots dos s'originen a partir de la inexactitud de la percepció sensible (Tractat SB, 45 i seg.) mitjançant el mateix procés que condueix que creguem en l'existència contínua dels cossos (Tractat SB, 198). Per a Hume, per tant, les idees matemàtiques són producte, fins a cert punt, de la nostra activitat mental. D'altra banda, Hume insisteix que les veritats matemàtiques ho són sobre les relacions entre les pròpies idees i no sobre les relacions del representat per les idees.