La distribució normal, també coneguda com a distribució gaussiana, és una important família de distribucions de probabilitat contínues i és aplicable a molts camps. Cada membre de la família queda definit per dos paràmetres: la localització o mitjana i l'escala o desviació estàndard , i es denota per . Un cas particular és la distribució normal estàndard, per la qual la mitjana és 0 i la desviació estàndard és 1.
Fou Carl Friedrich Gauss qui descobrí la distribució normal quan analitzava dades astronòmiques, i definí l'equació de la seva funció de densitat de probabilitat. Aquesta distribució també s'anomena campana de Gauss, atès que el gràfic de la seva funció de densitat de probabilitat s'assembla a una campana.
La importància de la distribució normal en les ciències naturals i del comportament rau en el teorema central del límit. Aquest teorema estableix que la suma d'un elevat nombre d'efectes independents segueix (aproximadament) una distribució normal. D'aquesta manera, és útil en processos en els quals hi ha errors de mesura que es deuen a un elevat nombre de factors, tots contribueixen una petita porció a l'error total. En la teoria de probabilitat i d'inferència estadística, el teorema central del límit garanteix que un llarg nombre d'estadístics segueixen la distribució normal, si més no aproximadament. Per exemple, la mitjana mostral o els estimadors màxim versemblants segueixen aproximadament una distribució normal sota certes condicions matemàtiques que són força generals.
En aquest sentit, la distribució normal és rellevant en casos on les variables són aleatòries o es preveu que hi hagi un notable soroll en la mostra. Tanmateix, històricament, les distribucions normals s'han generalitzat de forma incorrecta en contextos on no es compleix el supòsit de normalitat (és a dir, que les dades subjacents no corresponen a variables que segueixen patrons aleatoris), com el Quocient intel·lectual, els Efectes de l'escalfament global, o la Riquesa en els que la distribució normal és un model de predicció deficient.
Funció de densitat de probabilitat
on σ és la desviació estàndard, μ és l'esperança matemàtica, i
és la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal estàndard, és a dir, la distribució normal amb μ = 0 i σ = 1. Per comprovar que la integral de sobre la recta real és igual a 1 vegeu la integral de Gauß.
Funció de distribució La funció de distribució d'una distribució normal és Per a una distribució normal estàndard s'acostuma a utilitzar la notació per designar la seva funció de distribució. Concretament, Cal notar que
(Vegeu més avall l'apartat sobre estandardització de variables normals).
És important remarcar que la funció de distribució no es pot expressar en termes de funcions elementals (polinomis, exponencials, funcions trigonomètriques,..) Vegeu un comentari sobre la demostració d'aquesta propietat a l'article. Per aquest motiu, de cara a la utilització pràctica de les distribucions normals i els càlculs numèrics corresponents, les aproximacions a la funció de distribució són molt importants i s'han utilitzat tècniques d'integració numèrica, sèries de Taylor, sèries asimptòtiques o fraccions contínues. Vegeu Patel and Read per una revisió d'aquestes aproximacions.
Funcions generadores Funció generadora de moments La funció generadora de moments es defineix com a l'esperança matemàtica de exp(tX). Per la distribució normal la funció generadora de moments és:
Funció característica La funció característica es defineix com a l'esperança matemàtica de exp(itX), on i és el nombre imaginari, i t és un nombre real. Per la distribució normal la funció característica és:
Propietats Algunes propietats:
Si i i són nombres reals, aleshores (veure esperança i variància). Si i són variables aleatòries normals independents, aleshores: La seva suma segueix la distribució normal amb . La seva diferència segueix una distribució normal amb . i són independents si i només si . La divergència de Kullback-Leibler, Si i són variables aleatòries normals independents, aleshores: El seu producte segueix una distribució and funció de probabilitat de densitat donada per on és una funció de Bessel modificada de segon tipus. El seu quocient segueix una distribució de Cauchy amb . Si són variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb distribució normal estàndard, aleshores segueix una distribució khi quadrat amb n graus de llibertat.
Estandardització de variables aleatòries normals Com a conseqüència de la propietat 1, és possible relacionar totes les variables aleatòries normals amb la distribució normal estàndard; aquest procediment s'anomena estandardització d'una variable normal.
Si , aleshores
és una variable aleatòria normal estàndard: . Una conseqüència important és que la funció de distribució de és :
on és la funció de distribució normal estàndard: per a tot real t,
D'altra banda, si és una variable aleatòria normal estàndard, , aleshores
és una variable aleatòria normal amb esperança i variància .
La funció de distribució normal estàndard ha estat tabulada, i les altres funcions de distribució normals en són simples transformacions, tal com hem explicat anteriorment. Per tant, un pot emprar valors tabulats de la funció de distribució normal estàndard per a trobar el valor de la funció de distribució de qualsevol altra distribució normal.
Moments Alguns dels primers moments de la distribució normal són: Número Moment Moment central Cumulant 0 1 1 1 0 2 3 0 0 4 0
Tots els cumulants de la distribució normal a partir del segon són zero.
Moments d'una variable normal centrada Per a les variables aleatòries normals centrades tenim la següent fórmula per als moments de qualsevol ordre. Si aleshores Notem que
on denota el doble factorial de . Així, de forma més compacta podem escriure
Alternativament, usant la relació del doble factorial amb la funció gamma, per a parell, on és la funció gamma.
De la fórmula pels moments de és dedueix que si , aleshores
Cas general Sigui , i designem per el moment d'ordre . Aleshores on designa la part entera del nombre .
Recurrència pels moments d'una variable normal
Amb les notacions anteriors tenim
Expressió compacta dels moments
Suposem que . Aleshores on designa la derivada d'ordre -èsim de la funció , amb el conveni . Aquesta fórmula es demostra mitjançant la regla de Leibniz per provar que la funció compleix la recurrència (*), amb i .
Referències
Bibliografia
Vegeu també
Mètode dels mínims quadrats Distribució normal multivariable
Normal