En mecànica quàntica, un potencial central és un potencial, en el qual l'energia potencial de cada partícula depèn només de la distància entre la partícula i el centre del potencial.
Cas general Considerem una partícula de massa en un potencial central. La funció d'ona de la partícula ha de satisfer l'equació de Schrödinger independent del temps:
Com que un potencial central té simetria esfèrica, l'equació de Schrödinger es pot expressar en coordenades esfèriques, amb l'origen de coordenades al centre del potencial:
Si suposem que les solucions de l'equació són separables,s'obté, substituint i multiplicant per :
El membre de l'esquerra (part radial) depèn només de i el membre de la dreta (part angular) depèn només de i . Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui . D'aquesta manera, obtenim dues equacions:
Equació radial: Equació angular:
Separació de l'equació angular L'equació angular es pot multiplicar per :
Si suposem que les solucions de l'equació són separables,s'obté, substituint i dividint per :
El membre de l'esquerra (part polar) depèn només de i el membre de la dreta (part azimutal) depèn només de . Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui . D'aquesta manera, obtenim dues equacions:
Equació polar: Equació azimutal:
Equació azimutal La solució general de l'equació azimutal és:on i són constants arbitràries.
Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i periòdica en , la funció també ha de ser univaluada i periòdica en , és a dir, . En aquest cas, el nombre , que s'anomena nombre quàntic magnètic, ha de ser un nombre enter:
Les solucions independents coincideixen amb les solucions independents per a negatius. Per tant, podem prendre sense pèrdua de generalitat:
Normalitzant , s'obté:
Per tant, les funcions azimutals normalitzades s'expressen com:
Equació polar L'equació polar es pot multiplicar per :
Fent el canvi de variables :
Fent la substitució :
Finalment, aplicant la regla de la derivada d'un producte, s'obté l'expressió següent:que és una equació associada de Legendre.
Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i contínuament diferenciable, la funció també ha de ser univaluada i contínuament diferenciable. En aquest cas, el nombre , que s'anomena nombre quàntic azimutal, ha de ser un nombre enter. A més, l'equació associada de Legendre té solucions no nul·les quan , és a dir, quan
La solució general de l'equació associada de Legendre per a és:on i són constants arbitràries, i i són les funcions associades de Legendre de primera i segona espècie, respectivament.
Bibliografia L. D. Landau i E. M. Lifshitz. Quantum mechanics. Non-relativistic theory. 2a ed. Oxford: Pergamon, 1965. E. Merzbacher. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: Wiley, 1998. L. I. Schiff. Quantum mechanics. 3a ed. Nova York: McGraw-Hill, 1968. L. Pauling i E. B. Wilson. Introduction to quantum mechanics. Nova York: McGraw-Hill, 1935.
Categoria:Mecànica quàntica