miniatura|332x332px|Un troç del camp vectorial (sin y, sin x) En el camp matemàtic de la topologia diferencial, el claudàtor Lie de camps vectorials, també conegut com a claudàtor de Jacobi – Lie o commutador de camps vectorials, és un operador que assigna a dos camps vectorials X i Y qualsevol d'una varietat llisa M un tercer camp vectorial denotat per . Conceptualment, el claudàtor de Lie és la derivada de Y al llarg del flux generat per X, i de vegades es denota ("Derivada de Y al llarg de X"). Això es generalitza a la derivada de Lie de qualsevol camp tensor al llarg del flux generat per X. El claudàtor de Lie és una operació R - bilineal i converteix el conjunt de tots els camps vectorials suaus de la varietat M en una àlgebra de Lie (de dimensions infinites). El claudàtor de Lie té un paper important en la geometria diferencial i la topologia diferencial, per exemple en el teorema d'integrabilitat de Frobenius, i també és fonamental en la teoria geomètrica dels sistemes de control no lineals., nonholonomic systems; , feedback linearization. Hi ha tres enfocaments conceptualment diferents però equivalents per definir el claudàtor Lie: Cada camp vectorial suau en una varietat M es pot considerar com un operador diferencial que actua sobre funcions suaus (on i de classe ) quan definim ser una altra funció el valor de la qual en un punt és la derivada direccional de f en p en la direcció X (p). D'aquesta manera, cada camp vectorial llis X esdevé una derivació sobre C∞(M). A més, qualsevol derivació sobre C∞(M) sorgeix d'un camp vectorial suau únic X. En general, el commutador de dues derivacions qualsevol i és de nou una derivació, on indica la composició dels operadors. Això es pot utilitzar per definir el parèntesi de Lie com el camp vectorial corresponent a la derivació del commutador:
Referències
Categoria:Geometria diferencial