Làlgebra homològica és una noció bàsica de la topologia algebraica. Intuïtivament, dues corbes en un pla o una altra superfície bidimensional són homòlogues si juntes delimiten una regió -definint així un dins i un fora. De manera similar, dues superfícies en un espai tridimensional són homòlogues si entre elles delimiten una regió de l'espai.
miniatura|Un diagrama emprat en el lema de la serp, un resultat bàsic en àlgebra homològica
Més formalment, làlgebra homològica és la branca de les matemàtiques que estudia l'homologia en un context algebraic general. Té els seus orígens en les investigacions sobre topologia combinatòria (una precursora de la topologia algebraica) i l'àlgebra abstracta (teoria de mòduls i syzygys) al final del , principalment degudes a Henri Poincaré i David Hilbert.
El desenvolupament de l'àlgebra homològica està íntimament relacionat amb el sorgiment de la teoria de categories. De fet, l'àlgebra homològica és l'estudi dels functors homològics i les estructures algebraiques intricades que conté. Un concepte útil i freqüent en matemàtiques és el dels complexos de cadenes, que es poden estudiar tant a través de la seva homologia com de la seva cohomologia. L'àlgebra homològica proporciona les eines per extreure la informació continguda en aquests complexos, i presentar-la en la forma d'invariants d'anells, mòduls, espais topològics i altres objectes matemàtics. Una eina potent per realitzar aquesta anàlisi la proporcionen les successions espectrals.
Des del seu origen, l'àlgebra homològica ha jugat un rol important en topologia algebraica. El seu àmbit d'influència ha crescut amb el temps, i actualment inclou l'àlgebra commutativa, la geometria algebraica, la teoria de nombres algebraics, la teoria de representació, la física matemàtica, les àlgebres d'operadors, l'anàlisi complexa i la teoria d'equacions en derivades parcials.
Història de l'àlgebra homològica L'àlgebra homològica començà a ser estudiada en la seva forma més bàsica durant el com a part de la topologia, però no va ser fins a la dècada de 1940 que esdevingué una àrea independent amb l'estudi d'objectes tals com el functor Ext i el functor Tor, entre d'altres.History of Homological Algebra, de Chuck Weibel, pp.797-836 dins l'obra The History of Topology, ed. I.M. James, Elsevier, 1999
Complexos de cadenes i homologia
El complex de cadenes és la noció central de l'àlgebra homològica. És una successió de grups abelians i homomorfismes de grups, amb la propietat que la composició de dos homomorfismes consecutius qualssevol és zero:
Els elements de Cn s'anomenen n-cadenes i els homomorfismes dn s'anomenen diferencials. Els grups Cn es poden dotar d'una estructura addicional; per exemple, poden ser espais vectorials o mòduls sobre un anell fixat R. Les diferencials han de preservar aquesta estructura addicional, en el cas que existeixi; per exemple, han de ser aplicacions lineals o homomorfismes de R-mòduls. Per convenció, ens restingirem al cas de grups abelians (estrictament, a la categoria Ab de grups abelians; un famós teorema de Barry Mitchell assegura que els resultats són vàlids en el cas general d'una categoria abeliana qualsevol). Tot complex de cadenes defineix altres dues successions de grups abelians, els cicles Zn = Ker dn i les fronteres Bn = Im dn+1, on Ker d i Im d simbolitzen el nucli i la imatge de d, respectivament. Com que la composició de dues diferencials qualssevol és zero, aquests grups estan submergits l'un en l'altre: .
Els subgrups dels grups abelians són automàticament normals; per tant, poden definir ln-sim grup d'homologia Hn(C) com el grup quocient dels n-cicles per les n-fronteres, .
Hom diu que un complex de cadenes és acíclic o que és una successió exacta si tots els seus grups d'homologia són zero.
Els complexos de cadenes sorgeixen freqüentment en àlgebra i topologia algebraica. Per exemple, si X és un espai topològic, llavors les cadenes singulars Cn(X) són combinacions lineals formals de funcions contínues del n-símplex estàndard cap a X; si K és un complex simplicial, llavors les cadenes simplicials Cn(K) són combinacions lineals formals dels n-símplexs de X; si A = F/R és una presentació d'un grup abelià A per generadors i relacions, on F és un grup abelià lliure generat pels generadors i R és el subgrup de relacions, llavors escrivint C1(A) = R, C0(A) = F, i Cn(A) = 0 per a qualsevol altre n obtenim una successió de grups abelians. En tots aquests casos, existeixen diferencials naturals dn que converteixen Cn en un complex de cadenes, l'homologia dels quals reflecteixen l'estructura de l'espai topològic X, del complex simplicial K o del grup abelià A. En el cas d'espais topològics, arribem a la noció d'homologia singular, que juga un rol fonamental en la investigació de les propietats d'aquests espais, com per exemple les varietats.
Des d'un punt de vista filosòfic, l'àlgebra homològica mostra que certs complexos de cadenes associats amb objectes algebraics o geomètrics (espais topològics, complexos simplicials, R-mòduls) contenen molta informació valuosa sobre ells, i l'homologia és la que es pot copsar més fàcilment. Des d'un punt de vista tècnic, l'àlgebra homològica ens proporciona les eines per a manipular complexos i extreure'n aquesta informació. Per exemple: Dos objectes X i Y estan connectats mitjançant una apliació f. L'àlgebra homològica n'estudia la relació, induïda per l'aplicació f, entre complexos de cadenes associats amb X i Y i la seva homologia. Això es pot generalitzar al cas de diversos objectes i d'aplicacions que els connecten. En termes de teoria de categories, l'àlgebra homològica estudia les propietats functorials de diverses construccions de complexos de cadenes i de l'homologia d'aquests complexos. Un objecte X admet múltiples descripcions (per exemple, com a espai topològic i com a complex simplicial); equivalentment, hom construeix el complex emprant alguna 'presentació' de X, en la qual intervé alguna elecció no canònica. És important conèixer l'efecte de canviar la descripció de X sobre els complexos associats a X. Típicament, el complex i la seva homologia són functorials respecte a la presentació; i l'homologia (encara que no el propi complex) és, de fet, independent de la presentació que s'hagi escollit i, per tant, és un invariant de X.
Eines i tècniques Successions exactes
En el context de la teoria de grups, una successió
de grups i homomorfismes de grups s'anomena exacta si la imatge de cada homomorfisme és igual al nucli del següent: . Notem que la successió de grups i homomorfismes pot ser finita o infinita.
Hom pot establir una definició similar per a altres estructures algebraiques. Per exemple, podríem tenir una successió exacta d'espais vectorials i aplicacions lineals, o de mòduls i homomorfismes de mòduls. Més en general, la noció d'una successió exacta té sentit en qualsevol categoria amb nuclis i conuclis.
Successió exacta curta El tipus més comú de successió exacta és la successió exacta curta. És una successió exacta de la forma
on f és un monomorfisme i g és un epimorfisme. En aquest cas, A és un subobjecte de B, i el quocient corresponent és isomorf a C:
(on f(A) = im(f)).
Una successió exacta curta de grups abelians també es pot escriure com una successió exacta amb 5 termes:
on 0 representa lobjecte zero, com el grup trivial o un espai vectorial 0-dimensional. El fet de col·locar els objectes zero obliga a què f sigui un monomorfisme i a què g sigui un epimorfisme.
Successió exacta llarga Una successió exacta llarga és una successió exacta indexada pels nombres naturals.
El lema dels cinc Considerem el següent diagrama commutatiu en qualsevol categoria abeliana (com per exemple la categoria dels grups abelians o la categoria d'espais vectorials sobre un cos donat), o la categoria dels grups.
Fitxer:FiveLemma.png
El lema dels cinc afirma que, si les files són exactes, m i p són isomorfismes, l és un epimorfisme, i q és un monomorfisme, llavors n també és un isomorfisme.
El lema de la serp En una categoria abeliana (com per exemple la categoria dels grups abelians o la categoria dels espais vectorials sobre un cos donat), considerem un diagrama commutatiu:
Fitxer:SnakeLemma01.png
on les files són successions exactes i 0 és l'objecte zero. Llavors existeis una successió exacta que relaciona els nuclis i els conuclis de a, b i c:
Addicionalment, si el morfisme f és un monomorfisme, llavors també ho és el morfisme ker a → ker b, i si g és un epimorfisme, llavors també ho és coker b → coker c.
Categories abelianes En matemàtiques, una categoria abeliana és una categoria en la qual els morfismes i els objectes es poden sumar, i en la qual existeixen nuclis i conuclis, i tenen propietats desitjables. L'exemple per antonomàsia d'una categoria abeliana és la categoria dels grups abelians, Ab. La teoria sorgí com un intent d'unificar diverses teories de cohomologia d'Alexander Grothendieck. Les categories abelianes són força estables; per exemple, són regulars i satisfan el lema de la serp. La classe de les categories abelianes és tancada per diverses construccions de categories, per exemple la categoria de complexos de cadenes d'una categoria abeliana, o la categoria de functors d'una categoria menor cap a una categoria abeliana són també abelianes. Aquestes propietats d'estabilitat fan que s'utilitzin a bastament en àlgebra homològica i en altres àmbits: la teoria té aplicacions importants en geometria algebraica, cohomologia i teoria de categories pura. Les categories abelianes reben aquest nom per Niels Henrik Abel.
Més concretament, una categoria és abeliana si té un objecte zero, conté tots els productes binaris i els coproductes binaris, conté tots els nuclis i conuclis, i tots els monomorfismes i epimorfismes són normals.
Functor Ext Sigui R un anell, i sigui ModR la categoria dels mòduls sobre R. Sigui B un mòdul de ModR, i escrivim T(B) = HomR(A,B), per a un A de ModR fixat. Això és un functor exacte esquerre i, per tant, té functors derivats RnT. Hom defineix el functor Ext com .
Això es pot calcular prenent qualsevol resolució injectiva ,
i calculant .
Llavors (RnT)(B) és l'homologia d'aquest complex. Notem que HomR(A,B) està exclosa del complex.
Hom pot proporcionar una definició alternativa, emprant el functor G(A)=HomR(A,B). Per a un mòdul B fixat, això és un functor exacte esquerre contravariant i, per tant, també tenim functors derivats per la dreta RnG, i podem definir .
Això es pot calcular escollint una resolució projectiva qualsevol ,
i procedir amb els duals, calculant .
Llavors (RnG)(A) és l'homologia d'aquest complex. Notem, de nou, que s'exclou HomR(A,B).
Aquestes dues construccions proporcionen resultats isomorfs i, per tant, qualsevol de les dues es pot fer servir per a calcular el functor Ext.
Functor Tor Suposem que R és un anell, i denotem per R-Mod la cateogira de R-mòduls per l'esquerra, i per Mod-R la categoria de R-mòduls per la dreta (si R és commutatiu, les dues categories coincideixen). Prenem un mòdul B fixat de R-Mod. Per a A de Mod-R, escrivim T(A) = A⊗RB. Llavors T és un functor exacte dret de Mod-R en la categoria dels grups abelians Ab (en el cas de què R sigui commutatiu, és un functor exacte dret de Mod-R en Mod-R), i els seus functors derivats esquerres LnT estan definits. Escrivim:
és a dir, prenem una resolució projectiva
llavors eliminem el terme A i apliquem tensors a la resolució projectiva amb B, i obtenim el complex
(notem que A⊗RB no apareix i l'última fletxa és simplement l'aplicació nul·la) i prenem l'homologia d'aquest complex.
Successió espectral Fixem una categoria abeliana, com per exemple la categoria de mòduls sobre un anell. Una successió espectral és una elecció d'un enter no-negatiu r0 i d'una col·lecció de tres successions: Per a tots els enters r ≥ r0, un objecte Er, anomenat full (com un full de paper), o de vegades una pàgina o terme,