En probabilitat i estadística, la distribució d'Irwin-Hall, anomenada així en honor a Joseph Oscar Irwin i Philip Hall, és la distribució de probabilitat de la suma d'un nombre de variables aleatòries independents, cadascuna amb distribució uniforme en l'interval [0,1]. Per aquest motiu també es coneix com a distribució de suma uniforme. Aquesta mena de distribucions van ser estudiades per Joseph Luis Lagrange el 1770Lagrange, ''Mémiore sur l'utilité de la méthode de prendre le milieu entre les résultats de plusierurs observations''. Miscellania Tourinencia, t. V, 1770-1772. Reproduït a ''Oeuvres de Lagrange'', (M. J.-A. Serret), Vol. 2, p. 173-234, Gauthier-Villars, Paris, 1868 i per Nicolai Lobatxevski el 1832,Lobatschewsky, Probabilité des résultats moyens tirés d'observations répetées. Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1842, no. 24, 1842, p. 164-170. i redescobertes per nombrosos autors. https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/7A07C679478E54AD8D92AD2AA4B04046/S0020269X00004606a.pdf/div-class-title-spot-the-prior-reference-div.pdf
La distribució d'Irwin-Hall està relacionada amb la distribució de Bates, que és la mitjana de n variables aleatòries independents distribuïdes uniformement en [0,1].
Definició La distribució de Irwin–Hall és la distribució de probabilitat de la suma de variables aleatòries independents totes amb distribució uniforme en l'interval [0,1]:
La funció de densitat de probabilitat està donada per
on, per a un nombre real i un nombre natural ,
Alternativament, on és la part entera del nombre real . L'equivalència entre les expressions (1) i (2) de es dedueix del fet que per a , tenim que .
Aquesta densitat també es pot escriure amb .
Càlculs explícits i demostració de la fórmula general Funció de densitat per a n =1, 2 i 3 miniatura|Figura 1. Funció de densitat Per a , la funció de densitat és la densitat d'una distribució uniforme en l'interval [0,1]:
Vegeu la Figura 1.
Quan . Vegeu la Figura 2. La distribució amb aquesta funció de densitat s'anomena distribució triangular. miniatura|Figura 2. Funció de densitat La demostració d'aquesta fórmula es fa utilitzant la següent propietat:
Propietat: Funció de densitat de la suma de variables aleatòries independents. Considerem dues variables aleatòries i independents amb funcions de densitat i respectivament. Sigui Aleshores té funció de densitat
Retornem al cas . D'acord amb (4),
Fem el canvi de variable i obtenim Ara hem de distingir 3 casos: Cas 1. Si , vegeu la Figura 3, aleshores, atès que és zero a menys que , tindrem miniatura|Figura 3. Càlcul de la funció de densitat , cas 1
Cas 2. Si , vegeu la Figura 4, aleshores,
miniatura|Figura 4. Càlcul de la funció de densitat , cas 2
Cas 3. Finalment, si , és clar que .
Per a ,
miniatura|Figura 5.Funció de densitat La demostració es fa com en el cas anterior, aplicant la fórmula (4): Ara cal distingir els casos , , etc. Per exemple, quan ,
i ara es calculen ambdues integrals.
Funció de distribució La funció de distribució ésEvidentment, també es poden calcular expressions equivalents a partir de (2) i (3).
La funció de densitat és un spline És interessant notar que la funció de densitat a l'interval és un spline (funció polinòmica a trossos) de grau sobre els nusos :on són polinomis de grau , que podem escriure, per a ,on els coeficients es poden calcular recursivament en per la fórmula Per exemple, per a tenim, per a , Per tant, Per a , tenimD'on Calculant els altres coeficients tenim,
D'altra banda, la successió està recollida a The on-line Encyclopedia of integer sequences, on hi ha els seus valors fins al terme . A més, també es donen fórmules per als programari Mathematica i Maple per a calcular qualsevol terme. Per a La funció de distribució també és un spline a i els coeficients dels diferents polinomis també estàn recollits a The on-line Encyclopedia of integer sequences
Aproximació normal D'acord amb el teorema central del límit, atès que tenim que
on te una distribució normal estàndard (vegeu la remarca 2 a la pàgina teorema central del límit). També es diu que és asimptòticament normal amb mitjana i variància i s'escriu
Generalitzacions Suma de variables uniformes en l'interval [0,c] La funció de densitat de la suma de variables aleatòries independents totes amb distribució uniforme en l'interval amb , que designarem per és
Cas de Lobatxevski: suma de variables uniformes en l'interval [-1,1] Lobatxevski (vegeu també) considera el cas de la suma de variables aleatòries independents amb distribució uniforme a l'interval . La seva densitat, que denotarem per és Alternativament,
Cas general: suma de variables uniformes en l'interval [a,b] Siguin variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme a l'interval amb . Designem per la seva suma: Sigui la seva funció de densitat . Aleshores,
Vegeu també Distribució de Bates Distribució uniforme contínua Distribució triangular
Referències
Bibliografia
Irwin-Hall