En matemàtica, la fórmula d'Euler-Maclaurin estableix la relació entre sumatori de sèries i integrals. Pot ser usada per aproximar integrals per sumes finites o, de forma inversa, per a evaluar series (finites o infinites) resolent integrals.

La fórmula va ser descoberta independentment per Leonhard Euler i Colin Maclaurin el 1735. Euler va fer servir aquesta fórmula per calcular valors de sèries infinites amb convergència lenta i Maclaurin la va utilitzar per calcular integrals.

La fórmula Si x és un nombre real i és una funció suau (suficientement derivable) definida , aleshores, la integral

es pot aproximar amb la suma:

(veure regla del trapezi). La formula d'Euler-Maclaurin ens dona la diferència entre al suma i la intgral en funció de derivades de en els extrems de l'interval d'integració (0 i n). Per a cualsevol enter positiu p, es compleix:

On són els nombres de Bernoulli i R és una estimació de l'error normalment petit.

Realizant un canvi de variable en l'integral, es pot modificar aquesta fórmula per a funcions definides en altres intervals de la recta real.

El terme d'error El término de error R es:

On són els polinomis de Bernoulli periòdics. El terme d'error es pot acotar amb:

Referències

Categoria:Sèries Categoria:Anàlisi asimptòtica Categoria:Teoremes d'anàlisi matemàtica Categoria:Integració numèrica