The whole Mandelbrot set Mandelbrot zoomed 6x Mandelbrot Zoomed 100x Mandelbrot Zoomed 2000x
Una fractal és un objecte matemàtic de gran complexitat definit per algorismes simples. Les fractals van ser estudiades llargament per Benoît Mandelbrot i el terme fractal va ser implantat per ell gràcies al seu llibre Els objectes fractals. El terme fractal es va crear a partir de l'arrel llatina fractus 'trencat, fracturat, irregular'.
Les fractals neixen de l'intent de trobar una geometria més apropiada per descriure els objectes de la natura. En aquesta recerca, Mandelbrot es va trobar una sèrie d'objectes matemàtics (conjunt de Cantor, triangle de Sierpiński, corba de Peano, floc de neu de Koch, etc.) que havien estat considerats curiositats dins les matemàtiques, però que no havien tingut major interès fins al moment que Mandelbrot s'adonà que tots tenien aspectes en comú. Són molt útils en multitud de camps com ara la medicina i la cardiologia, la sismologia, etc.
Introducció miniatura|Apropament del conjunt de Mandelbrot La paraula fractal neix a partir d'una adaptació del terme fraccionari. Les fractals tenen com a primera i principal característica l'aparició de dimensions fraccionàries. Això vol dir que si una línia té dimensió 1, un pla té dimensió 2, i un volum té dimensió 3, a les fractals apareixen dimensions que es poden escriure en forma de fracció. Una dimensió 7/4, per exemple, significa un nombre de 1.75 i, per tant, correspon a un cos que es troba a cavall entre una línia i un pla.
Totes les fractals tenen les següents característiques:
Tenen dimensió fraccionària. Estan detallades en escales infinitament petites, i a vegades infinitament grans. Tenen autosemblança estadística.
La possibilitat de tenir dimensions fraccionàries es pot veure millor amb alguns exemples, o simplement aplicant la fórmula matemàtica que defineix la dimensió fractal.
Història miniatura|esquerra|Construcció animada del Triangle de Sierpiński, en només nou generacions d'infinit. miniatura|Un floc de neu de Koch, que comença amb un triangle equilàter i després de dividir els costats en terços, en substitueix el segment mitjà amb una parella de línies que tornen a formar un triangle equilàter.
Les matemàtiques darrere les fractals van començar a prendre forma al quan el matemàtic i filòsof Gottfried Leibniz va considerar una autosimilitud recursiva (encara que ell va cometre l'error de pensar que només la línia recta podia ser-ho en aquest sentit).
Però no va ser fins a l'any 1872 quan apareix una funció en què la seva gràfica es considera fractal, quan Karl Weierstrass dona un exemple de funció amb la propietat gens intuïtiva de poder existir en totes les parts contínues però no diferenciable en cap punt. El 1904 Helge von Koch, insatisfet amb l'abstracta i analítica definició de Weierstrass, dona una definició més geomètrica d'una funció similar, la qual s'anomena floc de neu de Koch. Wacław Sierpiński construeix el seu triangle el 1915 i, un any més tard, la seva catifa. La idea de corbes autosimilars va ser proposada també per Paul Pierre Lévy, que, en el seu escrit Corbes i Superfícies Planes o Espacials Consistents en Parts Similars al Tot de 1938, va descriure una nova corba fractal, la corba de Lévy. Georg Cantor també va donar exemples de subconjunts de la línia real amb propietats inusuals. Aquest conjunt de Cantor també va ser reconegut com a fractal.
Les funcions iterades en el pla complex també van ser investigades cap a finals del i a principis del per Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou i Gaston Julia. No obstant això, sense l'ajuda de les gràfiques generades pels ordinadors actuals, mai van disposar dels recursos i la tecnologia necessària per observar la bellesa de molts dels objectes que van descobrir.
Cap a la dècada dels anys 60, Benoît Mandelbrot va començar a investigar l'autosimilitud en els documents de Quant és de Llarga la Costa de la Gran Bretanya? Autosimilitud Estadística i Dimensió Fractal, el qual es va basar en estudis anteriors de Lewis Fry Richardson. Finalment, el 1975 Mandelbrot va encunyar el terme fractal per descriure objectes amb la dimensió de Hausdorff–Besicovitch major que la seva dimensió topològica. Va il·lustrar la seva definició matemàtica amb un sorprenent equip de construcció de visualitzacions. Aquestes imatges, moltes de les quals estan basades en la recursivitat, capten la imaginació popular i fan que arribi a molta gent el significat del terme fractal.
Característiques d'una fractal Autosimilitud o autosemblança Segons B. Mandelbrot, un objecte és autosimilar o autosemblant si les seves parts tenen la mateixa forma o estructura que el tot, encara que poden presentar-se a diferent escala i poden estar lleugerament deformades.B. Mandelbrot. Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión. Tusquets Editores, S.A., 1993. Això vol dir que les diferents escales de detall tenen formes similars. També es pot dir que trossos petits de qualsevol fractal són semblants a la fractal sencera.
Les fractals poden presentar tres tipus d'autosimilitud:
Autosimilitud exacta. Aquest és el tipus més restrictiu d'autosimilitud: exigeix que la fractal sembli idèntica a diferents escales. Sovint es troba en fractals definides per sistemes de funcions iterades (IFS). miniatura|Quasiautosimilitud en el conjunt de Mandelbrot: en variar l'escala s'obtenen còpies del conjunt amb petites diferències. Quasiautosimilitud. Exigeix que la fractal sembli aproximadament idèntica a diferents escales. Les fractals d'aquest tipus contenen còpies menors i distorsionades d'elles mateixes. Matemàticament D.Sullivan va definir el concepte de conjunt quasiautosimilar a partir del concepte de quasi-isometria. Les fractals definides per relacions de recurrència són normalment d'aquest tipus. Autosimilitud estadística. És el tipus més dèbil d'autosimilitud. Exigeix que la fractal tingui mesures numèriques o estadístiques que es preservin amb el canvi d'escala. Les fractals aleatòries són exemples de fractals d'aquest tipus.
Dimensió fractal i dimensió de Hausdorff-Besicovitch miniatura|Aplicació de la dimensió de Hausdorff-Besicovitch (boles) a la costa del Regne Unit miniatura|Aplicació de la dimensió de Hausdorff-Besicovitch (quadrícula) a la costa del Regne Unit Entre les fractals podem trobar exemples com ara corbes que ocupen tot el pla. En aquest cas, la dimensió topològica de la corba, que és u, no informa sobre la forma en què aquesta ocupa l'espai ambient. Així doncs, per classificar la manera de com un conjunt ocupa l'espai mètric que el conté i amb quina densitat ho fa, s'utilitzen paràmetres numèrics que informen objectivament de les seves característiques:
La dimensió fractal. Les fórmules que la defineixen tenen a veure amb el recompte de les boles necessàries per recobrir el conjunt o amb el de caixes d'una quadrícula que contenen part del conjunt, quan les dimensions d'unes i altres tendeixen a zero. Es pot mesurar la dimensió fractal d'objectes reals: línies de la costa (1.2), núvols, arbres, etc. Amb aquestes mesures es poden comparar objectes del món real amb fractals generades per ordinador a partir d'algorismes matemàtics.
La dimensió de Hausdorff-Besicovitch. Té una definició més complexa que la de dimensió fractal. La seva definició no sol utilitzar-se per comparar conjunts del món real. miniatura|Autosimilitud estadística d'una fractal generada pel procés d'agregació per difusió limitada.
Aspectes matemàtics Dimensió fractal Pot definir-se en termes del mínim nombre de boles de radi necessàries per recobrir el conjunt, com el límit:
O en funció del recompte del nombre de caixes d'una quadrícula d'amplada que intersequen al conjunt:
Es demostra que ambdues definicions són equivalents, i que són invariants sota isometries.Barnsley, M. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. . (Cap 5)
Dimensió de Hausdorff-Besicovitch D'una definició més complexa, la dimensió de Hausdorff-Besicovitch proporciona un nombre , també invariant sota isometries, de la qual la seva relació amb la dimensió fractal és la següent:
En alguns casos això permet distingir entre conjunts amb la mateixa dimensió fractal.
Dimensió de fractals produïts per un IFS En aquest cas, quan no hi hagi superposició, es demostra que i que ambdues poden calcular-se com a solució de l'equació:
on ci designa el factor de contracció de cada aplicació contractiva del IFS.
Categories Les fractals poden ser dividides en quatre àmplies categories:
Sistema iterat de funcions Aquestes tenen una regla de punt fix geomètric. Exemples: conjunt de Cantor, Triangle de Sierpiński, corba de Peano, floc de neu de Koch, corba del drac, Fractal H-I de Rivera.
Fractals recurrents Les fractals definides per una relació de recurrència en cada punt d'un espai (com el pla complex). N'és un exemple el conjunt de Mandelbrot o el conjunt de Julia.
Fractals aleatòries Generades per processos estocàstics. Les fractals estocàstiques estan relacionades amb la teoria del caos. Les fractals aleatòries tenen una gran aplicació pràctica, ja que són les més apropiades per descriure diversos objectes irregulars del món real. Exemples en són els núvols, muntanyes, turbulències, costes i arbres.
Fractals oscil·lants Existeixen un tipus de fractals derivades del mètode de Júlia o de Mandelbrot, anomenades Fractals oscil·lants, ja que de forma alternativa s'iteren 2 o més funcions diferents.
En la naturalesa Una fractal natural és un element de la natura que pot ser descrit mitjançant la geometria fractal. Els núvols, les muntanyes, les onades del mar, el sistema circulatori sanguini (el batec del cor també), les línies costaneres, els flocs de neu, l'electricitat, les fulles dels vegetals o fins i tot la distribució d'arbres en el bosc són considerats fractals naturals.
Aquesta representació és aproximada, ja que les propietats atribuïdes als objectes fractals ideals, com el detall infinit, tenen límits en el món natural, tant inferiors com superiors, així com tampoc existeix un terme precís per a "massa irregular", i a part, existeixen diferents maneres per a definir "dimensió" amb valors racionals, i no tota fractal és definida recursivament. Les fractals són models per descriure la natura, però no deixen de ser models matemàtics.
Exemples de fractals naturals
Aplicacions miniatura|Una fractal que modela la superfície d'una muntanya (animació). Tal com s'ha descrit anteriorment, les fractals aleatòries poden utilitzar-se per descriure molts dels objectes i fenòmens altament irregulars del món real. Algunes aplicacions inclouen: Classificació dels teixits en histopatologia en el camp de la medicina Desenvolupament de fractals mitjançant el mètode de Mandelbrot Paisatge fractal o complexitat de la línia de la costa Enzimologia (cinètica de Michaelis-Menten) Generació de nova música Senyal i compressió d'imatges Creació d'ampliacions fotogràfiques digitals Sismologia Mecànica de sòls Disseny de videojocs, especialment gràfics d'ordinador per ambients orgànics i com a part de la generació procedural. Fractografia i mecànica de la fractura Antenes fractals – Antenes de mida petita amb carcassa fractal. Small angle scattering theory of fractally rough systems Samarretes i altres peces de roba en el camp de la moda Generació de patrons de camuflatge, com ara MARPAT Rellotges de sol digitals Anàlisi tècnica de l'evolució dels preus de mercat (veure principi d'ones d'Elliott)
Exemples Conjunt de Cantor