En matemàtiques, i més concretament en àlgebra abstracta, una *-àlgebra (o àlgebra involutiva; llegit com "àlgebra estrella") és una estructura matemàtica formada per dos anells involutius i , on és commutativa i té l'estructura de una àlgebra associativa sobre . Les àlgebres involutives generalitzen la idea d'un sistema de nombres equipat amb conjugació, per exemple els nombres complexos i la conjugació complexa, les matrius sobre els nombres complexos i la transposició conjugada, i els operadors lineals sobre un espai de Hilbert i adjunts hermitians. Tanmateix, pot passar que una àlgebra no admeti cap involució.

Definicions *-anell En matemàtiques, un *-anell és un anell amb un mapa que és un antiautomorfisme i una involució.

Més precisament, requereix de satisfer les propietats següents:

per a tot en .

Això també s'anomena anell involutiu, anell involutiu i anell amb involució. El tercer axioma està implicat pels axiomes segon i quart, el que el fa redundant.

Els elements tals que s'anomenen autoadjunts.

Exemples arquetípics d'un anell * són camps de nombres complexos i nombres algebraics amb una conjugació complexa com a involució. Es pot definir una forma sesquilínia sobre qualsevol anell *.

A més, es poden definir *-versions d'objectes algebraics, com ara ideal i subanell, amb el requisit de ser *- invariant: i així successivament.

* Els anells no estan relacionats amb els semianells estrella en la teoria de la computació.

*-àlgebra Una *-àlgebra és un *-anell, amb involució * que és una àlgebra associativa sobre un *-anell commutatiu amb involució ', tal que .

La base *-anell són sovint els nombres complexos (amb ' actua com a conjugació complexa).

Es dedueix dels axiomes que * sobre és lineal conjugat en , és a dir

per a .

A *-homomorfisme és un homomorfisme d'àlgebra que és compatible amb les involucions de i , és a dir,

per tot dins .

Exemples Qualsevol anell commutatiu es converteix en un *-anell amb la involució trivial (idèntica). L'exemple més familiar d'un *-anell i una *-àlgebra sobre reals és el camp dels nombres complexos on * és només una conjugació complexa. De manera més general, una extensió de camp feta per adjunció d'una arrel quadrada (com la unitat imaginària ) és una *-àlgebra sobre el camp original, considerada com un anell trivial-*. L'* gira el signe d'aquesta arrel quadrada. Un anell sencer quadràtic (per a alguns ) és un anell * commutatiu amb * definit de la mateixa manera; Els camps quadràtics són *-àlgebres sobre anells enters quadràtics adequats. Els quaternions, els nombres complexos dividits, els nombres duals i possiblement altres sistemes de nombres hipercomplexos formen *-anells (amb la seva operació de conjugació integrada) i *-àlgebres sobre reals (on * és trivial). Cap dels tres és una àlgebra complexa. Els quaternions de Hurwitz formen un anell * no commutatiu amb la conjugació del quaternió. L'àlgebra matricial de matrius sobre R amb * donada per la transposició. L'àlgebra matricial de matrius sobre C amb * donada per la transposició conjugada. La seva generalització, l'adjunt hermitià en l'àlgebra d'operadors lineals acotats en un espai de Hilbert també defineix una *-àlgebra. L'anell polinomi sobre un anell trivial-*- commutatiu és una *-àlgebra sobre amb . Si és simultàniament un *-anell, una àlgebra sobre un anell (commutatiu) i , aleshores és una *-àlgebra sobre (on * és trivial). Com a cas parcial, qualsevol *-anell és un *-àlgebra sobre nombres enters. Qualsevol *-anell commutatiu és un *-àlgebra sobre si mateix i, de manera més general, sobre qualsevol el seu *-subanell. Per a un *-anell commutatiu , el seu quocient per qualsevol del seu *-ideal és una *-àlgebra sobre . Per exemple, qualsevol anell trivial-*-commutatiu és un *-àlgebra sobre el seu anell de nombres duals, un *-anell amb * no trivial, perquè el quocient per fa l'anell original. El mateix sobre un anell commutatiu i el seu anell polinomial : el quocient de restaura . A l'àlgebra de Hecke, una involució és important per al polinomi de Kazhdan–Lusztig. L'anell d'endomorfisme d'una corba el·líptica esdevé una *-àlgebra sobre els nombres enters, on la involució ve donada prenent la isogènia dual. Una construcció similar funciona per a varietats abelianes amb una polarització, en aquest cas s'anomena involució de Rosati (vegeu les notes de conferència de Milne sobre varietats abelianes).

Referències

Categoria:Àlgebra abstracta