En matemàtiques, la fórmula clàssica d'inversió de Möbius és una relació entre parells de funcions aritmètiques, definides cadascuna de l' altra per sumes sobre divisors. Va ser introduït a la teoria de nombres el 1832 per August Ferdinand Möbius.

Una gran generalització d'aquesta fórmula s'aplica a la suma sobre un conjunt arbitrari localment finit parcialment ordenat, amb la fórmula clàssica de Möbius aplicant-se al conjunt dels nombres naturals ordenats per divisibilitat: vegeu àlgebra d'incidència.

Enunciat de la fórmula La versió clàssica afirma que si i són funcions aritmètiques satisfactòries

aleshores

on és la funció de Möbius i les sumes s'estenen sobre tots els divisors positius de (indicat per a les fórmules anteriors). En efecte, la original es pot determinar donada utilitzant la fórmula d'inversió. Es diu que les dues seqüències són transformacions de Möbius l'una de l'altra.

La fórmula també és correcta si i són funcions dels nombres enters positius a algun grup abelià (vist com un mòdul ).

En el llenguatge de les circumvolucions de Dirichlet, la primera fórmula es pot escriure com

on denota la convolució de Dirichlet, i és la funció constant . La segona fórmula s'escriu llavors com

Molts exemples específics es donen a l'article sobre funcions multiplicatives.

El teorema segueix perquè és (commutatiu i) associatiu, i , on és la funció d'identitat per a la convolució de Dirichlet, prenent valors , per a tots els . Així

Substituint per , obtenim la versió del producte de la fórmula d'inversió de Möbius

Referències

Categoria:Funcions Categoria:Matemàtiques