En l'àrea matemàtica de la teoria de conjunts, un filtre genèric és un objecte utilitzat sobretot en teoria de forcing, una tècnica utilitzada principalment per establir la independència de certes proposicions respecte algunes teories formals, com ara ZFC. Per exemple, Paul Cohen va utilitzar la tècnica de forcing per establir que ZFC, si és consistent, no pot demostrar la hipòtesi del continu, que afirma que hi ha exactament nombres reals. En la reinterpretació contemporània de la demostració de Cohen, es construeix un filtre genèric que codifica més de reals, sense canviar el valor de .
Formalment, sigui un conjunt parcialment ordenat, un filtre sobre és un subconjunt de tal que:
és no buit. Si , i és un element de , aleshores és un element de ( està tancat cap amunt). Si , aleshores hi ha un element de tal que i ( està dirigit cap avall).
Ara, si és una col·lecció de subconjunts oberts densos de , en la topologia d'ordre de , llavors un filtre sobre es diu que és -genèric (o bé, genèric respecte ) si té intersecció no buida amb tots els conjunts de ; és a dir, per a tot .
De la mateixa manera, si és un model transitiu de ZFC (o d'un fragment prou gran d'aquesta teoria), amb un element de , aleshores es diu que és -genèric, o de vegades genèric sobre , si té intersecció no buida amb tots els subconjunts oberts densos de que són elements de ; és a dir, per a tot subconjunt obert dens de tal que .
Vegeu també Lema de Rasiowa–Sikorski.
Bibliografia Kunen, K. (2014). Set theory an introduction to independence proofs. Elsevier. Jech, T. (2003). Set theory: The third millennium edition, revised and expanded. Springer Berlin Heidelberg.
Categoria:Teoria de conjunts Categoria:Matemàtiques Categoria:Lògica matemàtica