miniatura|Geometria plana La geometria (del grec γεωμετρία; γη = 'terra', μετρώ = 'mesurar') és la branca del coneixement que s'ocupa dels objectes o figures i de les seves relacions en l'espai, és a dir: distància, posició, superfície, volum, forma, desplaçament, projecció, representació, etc. Fou un dels dos camps de les matemàtiques clàssiques; l'altre camp n'és l'aritmètica o estudi dels nombres. miniatura|esquerra|Geometria descriptiva. Làmina d'un tractat de geometria descriptiva del
A l'edat moderna, el filòsof René Descartes reformulà el concepte de coordenades cartesianes, que donà pas a la geometria analítica que va introduir els mètodes de càlcul algebraics en la geometria. Actualment, els conceptes geomètrics s'han generalitzat fins a assolir un elevat grau d'abstracció i complexitat, consegüentment podem parlar d'una "geometria tradicional" o "clàssica", que és la que tothom coneix, ja que s'ensenya a les escoles primàries. Les altres geometries, en general, són disciplines fonamentades, en part, en els conceptes en certa forma intuïtius de la geometria clàssica, a partir dels quals es formulen altres hipòtesis, es desenvolupen mètodes alternatius o s'estableixen vinculacions amb altres disciplines o matemàtiques.
La geometria clàssica s'ocupa de les figures i objectes que existeixen o podem imaginar, tant en el pla com en l'espai, així com de les seves principals relacions, aplicacions, extensions, etc., com són:
La forma de les figures, la seva generació i paràmetres. Per exemple: la circumferència es defineix com una corba tancada i plana, els punts de la qual equidisten d'un punt anomenat centre. Les mesures sobre les figures com són la superfície, el volum o d'altres. Per exemple, el volum de l'esfera segons l'expressió: Les relacions entre les figures com: distància, proporcions, igualtat o semblança, punts mitjans, bisectriu, etc. Les operacions entre figures, o a partir de les figures com: paral·lelisme, perpendicularitat, simetria, homologia, unió, intersecció, etc. Les aplicacions a la resolució de problemes entre figures o a partir de les figures, com trobar tangents comunes a dues circumferències, trobar la projecció sobre un pla, etc.
Entre les aplicacions notables hi ha la resolució de triangles, en què a partir d'un costat i dos angles, dos costats i un angle o dels tres costats, es poden deduir els altres costats i angles. Aquesta aplicació és la base de la geodèsia i de la topografia.
La geometria clàssica és euclidiana, anomenada així en honor del matemàtic grec Euclides, que formulà el famós cinquè postulat o postulat d'Euclides, en el qual es basa aquesta ciència.
Història de la geometria miniatura|Papir d'Oxirrinc (P. Oxirrinc, I 29) que mostra fragments dels Elements d'Euclides miniatura|Una dona ensenyant geometria. Il·lustració al començament d'una traducció medieval dels Elements d'Euclides, (1310) miniatura|Geometria analítica plana. Sistema de coordenades cartesianes Antiguitat Les nocions de geometria més antigues de les quals es té constància remunten a l'antiga Mesopotàmia, l'antic Egipte i a l'anomenada civilització de la vall de l'Indus, a partir del 3000 aC. La geometria primitiva era un recull de principis descoberts empíricament referits a llargades, angles, àrees i volums, que es van desenvolupar per obtenir-ne un ús pràctic en agrimensura, construcció, astronomia i diverses aplicacions artesanes. Els primers texts coneguts sobre geometria són els papirs egipcis de Rhind i de Moscou, així com les tauletes d'argila babilòniques i el Shulba Sutras indi, mentre que els xinesos tenien els treballs de Mozi, Zhang Heng i Els nou capítols de les arts matemàtiques (九章算术) de Liu Hui.
Grècia clàssica Els Elements d'Euclides (c. 300 aC) és un dels texts antics més importants sobre geometria, ja que a partir d'aquí es presenta la geometria d'una manera axiomàtica ideal; aquesta geometria és la que es coneix com a geometria euclidiana. Aquest tractat, en contra del que de vegades es creu, no és un compendi de tot el que els matemàtics grecs sabien sobre geometria en aquella època, sinó que és una introducció elemental a la geometria.
Renaixement A començaments del , es van produir dos desenvolupaments importants en geometria. El primer, i més important, va ser la creació de la geometria analítica, o geometria amb coordenades i equacions, per part de René Descartes (1596-1650) i Pierre de Fermat (1601-1665). Això és un precursor necessari per al desenvolupament del càlcul infinitesimal i per fer de la física una ciència quantitativa i precisa. El segon desenvolupament geomètric d'aquest període va ser l'estudi sistemàtic de la geometria projectiva per part de Girard Desargues (1591-1661). La geometria projectiva és l'estudi de geometria sense mesures, només l'estudi de com s'alineen els punts entre si.
Època moderna Dos desenvolupaments en geometria al van canviar la manera en què s'havia estudiat prèviament. Aquests van ser el descobriment de geometries no euclidianes per Lobachevsky, Bolyai i Gauss i el de la formulació de la simetria com la consideració central del programa d'Erlangen de Felix Klein (que generalitzava les geometries euclidianes i no euclidianes). Dos dels geòmetres principals del temps van ser Bernhard Riemann, que va treballar principalment amb eines d'anàlisi matemàtica i va presentar la superfície de Riemann, i Henri Poincaré, el fundador de la topologia algebraica i la teoria geomètrica dels sistemes dinàmics.
Com a conseqüència d'aquests canvis essencials en la concepció de la geometria, el concepte d'espai es va convertir en una cosa més rica i variada, i la base natural per a teories tan diferents com l'anàlisi complexa i la mecànica clàssica. El tipus tradicional de geometria s'identificava amb espais homogenis, aquells espais que tenen prou simetria, de manera que tinguin el mateix aspecte des de qualsevol punt.
Classes de geometria miniatura|Geometria d'ena dimensions. El Tesseractis o hipercub de quatre dimensions Les disciplines matemàtiques que tracten temes geomètrics es poden classificar seguint diversos criteris:
En funció del tipus d'espai que s'estudia: la geometria euclidiana, que estudia l'espai usual amb les nocions de distància i d'angle. La geometria afí, que estudia els punts i les rectes però sense les nocions de distàncies i angles. La geometria projectiva, que afegeix als espais de la geometria afí punts a l'infinit. La geometria no euclidiana, que és una variació de la geometria euclidiana, que comprén la geometria hiperbòlica, el·líptica i esfèrica. Aquestes geometries es poden generalitzar, principalment, augmentant la dimensió de l'espai.
En funció de la manera en què s'estudia o axiomatitza la geometria: la geometria sintètica, que parteix d'axiomes i dedueix teoremes seguint les regles de la lògica. La geometria analítica, que fa servir sistemes de coordenades per a establir una correlació entra els punts de l'espai i ternes de nombres reals. L'àlgebra lineal, que generalitza la geometria analítica substituint les coordenades per espais vectorials. El programa d'Erlangen, que fa servir les nocions de grup i acció de grup.
També hi ha altres branques de les matemàtiques que fan servir les figures que procedeixen dels espais euclidians, però que estudien espais que no són necessàriament espais euclidians: la topologia, la geometria diferencial, la geometria algebraica i la geometria no commutativa.
Classificació en funció del tipus d'espai Per a Henri Poincaré, l'espai geomètric té les propietats següents:
És continu. És infinit. Té tres dimensions. És homogeni, és a dir, que tots els seus punts són idèntics entre si. És isòtrop, és a dir, que totes les línies que passen per un mateix punt són idèntiques entre si.
Les geometries euclidiana i no euclidiana corresponen a aquesta definició stricto sensu de l'espai. Construir aquesta geometria consisteix a enunciar les regles de manipulació dels quatre objectes fonamentals: el punt, la línia, el pla i l'espai.
Una manera de generalitzar aquest espai és augmentant el nombre de dimensions.
Geometria euclidiana
La geometria euclidiana estudia els espais on es compleixen els cinc postulats d'Euclides: Dos punts diferents es poden unir per una recta. Un segment rectilini pot ser allargat indefinidament mitjançant una recta. Donats un segment rectilini i un punt qualssevol, existeix una circumferència de centre aquest punt i radi el segment donat. Tots els angles rectes són iguals. Si dues rectes intersequen amb una tercera de manera que la suma dels angles interiors a un costat és menor de dos angles rectes, llavors les dues rectes inevitablement es tallen en el mateix costat si s'allarguen suficientment.
L'estudi de la geometria euclidiana normalment comença per l'estudi de les figures en el pla (un espai de dues dimensions) i després s'estén a l'estudi de l'espai de tres dimensions. Per representar en un pla els objectes de tres dimensions es fa servir la geometria descriptiva.
Geometria plana: és la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en el pla. Els elements físics plans, és a dir, amb una dimensió reduïda enfront de les altres dos, com per exemple: una paret o un paviment, una pàgina d'un llibre o el full d'un bloc, etc., constitueixen el suport de l'espai de dues dimensions on es desenvolupa aquesta geometria. Geometria de l'espai: és la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en l'espai de tres dimensions, és a dir, l'espai físic del qual en tenim una experiència intuïtiva directa. Geometria descriptiva: és una aplicació de la geometria clàssica que té per objecte representar sobre un o més plans, les figures de l'espai. Va néixer per satisfer la necessitat de representar sobre un full de paper (o qualsevol suport bidimensional) els plànols o dibuixos dels projectes dels edificis o les obres públiques així com els ginys, les màquines, etc., els quals són objectes de tres dimensions. Els mètodes de la geometria descriptiva permeten, a partir dels plànols, deduir i, per tant, construir amb seguretat allò que s'ha dibuixat, amb la seva forma, mesures i totes les relacions geomètriques per complexes que siguin.
Geometria afí
En la geometria afí no es consideren ni el tercer ni el quart postulats d'Euclides. Els seus resultats són vàlids en els espais de la geometria euclidiana, però també, per exemple en l'espai de Minkowski.
La geometria afí estudia les propietats geomètriques que es mantenen inalterades per les transformacions afins, és a dir, per les transformacions lineals i les translacions. No es poden mesurar angles ni comparar distàncies sobre rectes que tinguin direccions diferents.
Geometria projectiva
La geometria projectiva estudia les nocions intuïtives de "perspectiva" i d'"horitzó". Analitza les propietats de les figures invariants per projecció. L'espai sobre el qual treballa la geometria projectiva és l'espai projectiu. Intuïtivament respon a la idea d'un espai afí completat amb l'afegit d'un hiperplà que representa els punts situats a l'infinit, és a dir, allà on es tallen les rectes paral·leles.
Geometria no euclidiana Geometries no euclidianes: a partir del , alguns matemàtics neguen el cinquè postulat d'Euclides i parteixen del fet que hi ha més d'una recta paral·lela que passi per un punt exterior d'una recta. Això permeté formular una sèrie de conceptes geomètrics coherents en què, per exemple, la suma dels angles d'un triangle és menor que l'arc de la semicircumferència (180°). Aquestes teories tan sorprenents van modificar molt la comprensió del paper de les matemàtiques, en postular la geometria com un esquema formal sense referència immediata en l'espai físic. Les geometries hiperbòlica (amb dues paral·leles) o l'el·líptica (sense paral·leles) foren antecedents d'aquestes formulacions.
Generalització