En geometria diferencial, una connexió de Weyl (també anomenada estructura de Weyl) és una generalització de la connexió Levi-Civita que té sentit en una varietat conforme. Van ser introduïts per Hermann Weyl en un intent d'unificar la relativitat general i l'electromagnetisme. El seu enfocament, encara que no va conduir a una teoria reeixida, va conduir a més desenvolupaments de la teoria en geometria conformal, inclòs un estudi detallat d'Élie Cartan . També es van parlar a .
Definició Una connexió de Weyl és una connexió afí sense torsió compatible amb una classe conforme de mètriques, amb la condició ∇g=αg⊗g per a cada mètrica de la classe conforme.
Concretament, deixa ser una varietat llisa, i una classe conforme de tensors mètrics (no degenerats). , on si per a una funció suau (vegeu transformació de Weyl). Una connexió Weyl és una connexió afí sense torsió tal que, per a qualsevol , on és una forma única segons .
Si és una connexió Weyl i , doncs de manera que la forma única es transforma per Així, la noció d'una connexió de Weyl és conformament invariant, i el canvi d'una forma està mediat per un cocicle de Rham.
Propietats geomètriques Un exemple de connexió Weyl és la connexió Levi-Civita per a qualsevol mètrica de la classe conformal , amb . Aquest no és el cas més general, però, ja que qualsevol connexió de Weyl té la propietat de la forma única està tancat per a tothom pertanyent a la classe conformal.
En general, la curvatura de Ricci d'una connexió de Weyl no és simètrica. La seva part esbiaixada és la dimensió multiplicada per la forma de dues , que és independent de a la classe conformal, perquè la diferència entre dos és un cocicle de Rham. Així, segons el lema de Poincaré, la curvatura de Ricci és simètrica si i només si la connexió de Weyl és localment la connexió de Levi-Civita d'algun element de la classe conformal.
Història L'esperança original de Weyl era que la forma podria representar el potencial vectorial de l'electromagnetisme (una quantitat depenent del calibre) i la intensitat del camp (una quantitat invariant de calibre). Aquesta síntesi no té èxit en part perquè el grup gauge és incorrecte: l'electromagnetisme s'associa amb un camp de mesura, no an camp de mesura.
va demostrar que una connexió afí és una connexió de Weyl si i només si el seu grup d'holonomia és un subgrup del grup conformal. Les possibles àlgebres d'holonomia en la signatura Lorentziana es van analitzar a .
Una varietat de Weyl és una varietat que admet una connexió de Weyl global. L'anàlisi global de les varietats de Weyl s'està estudiant activament. Per exemple, van considerar varietats completes de Weyl de manera que les equacions de buit d'Einstein es mantenen, una geometria d'Einstein-Weyl, obtenint una caracterització completa en tres dimensions.
Les connexions de Weyl també tenen aplicacions actuals en teoria de cordes i holografia. Les connexions de Weyl s'han generalitzat a la configuració de geometries parabòliques, de les quals la geometria conformal és un cas especial, a .
Referències
Categoria:Geometria diferencial