alt=Irregular Coulomb wave function G plotted from 0 to 20 with repulsive and attractive interactions in Mathematica 13.1|miniatura|Funció d'ona de Coulomb irregular G representada de 0 a 20 amb interaccions repulsives i atractives a Mathematica 13.1 En matemàtiques, una funció d'ona de Coulomb és una solució de l'equació d'ona de Coulomb, que porta el nom de Charles-Augustin de Coulomb. S'utilitzen per descriure el comportament de partícules carregades en un potencial de Coulomb i es poden escriure en termes de funcions hipergeomètriques confluents o funcions de Whittaker d'argument imaginari. miniatura|imatge d'un gràfic complex de la funció d'ona de Coulomb regular afegida
Equació d'ona de Coulomb L'equació d'ona de Coulomb per a una única partícula de massa carregada és l'equació de Schrödinger amb potencial de Coulomb
on és el producte de les càrregues de la partícula i de la font de camp (en unitats de la càrrega elemental, per a l'àtom d'hidrogen), és la constant d'estructura fina i és l'energia de la partícula. La solució, que és la funció d'ona de Coulomb, es pot trobar resolent aquesta equació en coordenades parabòliques
Segons les condicions de contorn escollides, la solució té diferents formes. Dues de les solucions són
on és la funció hipergeomètrica confluent, i és la funció gamma. Les dues condicions de límit utilitzades aquí són
que corresponen -estats asimptòtics d'ona plana orientada abans o després de la seva aproximació a la font de camp a l'origen, respectivament. Les funcions estan relacionades entre si per la fórmula
Expansió parcial de l'ona La funció d'ona es pot expandir en ones parcials (és a dir, respecte a la base angular) per obtenir funcions radials independents de l'angle. . Aquí .
Un sol terme de l'expansió pot ser aïllat pel producte escalar amb un harmònic esfèric específic
L'equació de l'ona parcial única es pot obtenir reescrivint el laplacià a l'equació d'ona de Coulomb en coordenades esfèriques i projectant l'equació en un harmònic esfèric específic.
alt=Regular Coulomb wave function F plotted from 0 to 20 with repulsive and attractive interactions in Mathematica 13.1|miniatura|Funció d'ona de Coulomb regular F representada de 0 a 20 amb interaccions repulsives i atractives a Mathematica 13.1 Les solucions també s'anomenen funcions d'ona de Coulomb (parcials) o funcions de Coulomb esfèriques. Posant canvia l'equació d'ona de Coulomb a l'equació de Whittaker, de manera que les funcions d'ona de Coulomb es poden expressar en termes de funcions de Whittaker amb arguments imaginaris i . Aquest últim es pot expressar en termes de les funcions hipergeomètriques confluents i . Per , es defineixen les solucions especials
on
s'anomena desplaçament de fase de Coulomb. També es defineixen les funcions reals
Propietats de la funció de Coulomb Les parts radials per a un moment angular donat són ortonormals. Quan es normalitzen a l'escala del nombre d'ona (escala k), les funcions d'ona radial contínua satisfan
Altres normalitzacions habituals de les funcions d'ona contínua es troben a l'escala de nombre d'ona reduït ( -escala),
i a escala energètica
Les funcions d'ona radial definides a la secció anterior es normalitzen a
com a conseqüència de la normalització
Les funcions d'ona de Coulomb continu (o dispersió) també són ortogonals a tots els estats lligats de Coulomb
pel fet de ser estats propis del mateix operador hermitià (l'hamiltonià) amb valors propis diferents.
Referències
Categoria:Equacions de la física Categoria:Física de partícules