miniatura|Projecció de dos punts sobre una C convexa. En matemàtiques, el teorema de la projecció o teorema de la projecció de l'espai de Hilbert és un resultat de l'anàlisi convexa, sovint utilitzada en l'anàlisi funcional, que estableix que per a cada punt en un espai de Hilbert i per a cada conjunt convex tancat només n'hi ha un de manera que la distància pren el valor mínim en . En particular, això és cert per a qualsevol subespai tancat De : en aquest cas una condició necessària i suficient per a és que el vector ser ortogonal a .
Demostració Per demostrar l'existència de , és la distància entre I , és una successió en de manera que la distància al quadrat entre I és menor o igual a . Si I són dos nombres enters, doncs, per la llei del paral·lelogram:
de la qual
Considerant el límit superior dels dos primers termes de la igualtat, i observant que els termes de la seqüència entre I pertanyen a (i per tant tenen una distància de més gran o igual que ), obtenim:
L'última desigualtat mostra en particular que és una seqüència de Cauchy. Ser completa, la seqüència convergeix a un punt la distància de qui és mínim.
Per mostrar la singularitat de , són I dos punts que minimitzen la distància. Tenim:
Donat que pertany a tenim:
i després:
Per tant , cosa que demostra la singularitat.
Per demostrar l'equivalència de la condició en en cas és un subespai tancat, tots dos de tal manera que per a tots els . La condició és suficient perquè:
la qual cosa demostra el fet que És un "minimitzador". La condició també és necessària, com es pot veure col·locant un "minimitzador". És I . En aquell moment:
sempre és no negatiu. Així doncs, .
Referències
Categoria:Estadística multivariant Categoria:Geometria projectiva