miniatura|340x340px|Retrat de fase de l'oscil·lador de Van der Pol, un sistema unidimensional. L'espai de fase va ser l'objecte d'estudi original en geometria simplèctica. La geometria simplèctica és una branca de la geometria diferencial i la topologia diferencial que estudia les varietats simplèctiques; és a dir, les varietats diferenciables equipades amb una 2-forma tancada i no degenerada. La geometria simplèctica té els seus orígens en la formulació hamiltoniana de la mecànica clàssica, on l'espai de fase de certs sistemes clàssics pren l'estructura d'una varietat simplèctica.

Etimologia El terme "simplèctic", tal com el va adoptar Hermann Weyl en matemàtiques, és un calc neogrec de "complex". Anteriorment, el "grup simplèctic" s'anomenava "grup de complexos lineals". "Complex" prové del llatí com-plexus, que significa "trencats junts" (co- + plexus), mentre que "simplèctic" representa el corresponent grec ( ). "entrellaçar o trenar junts, copulatiu"). En ambdós casos, les arrels provenen de l'arrel indoeuropea , que expressa el concepte de plegat o teixit, i els prefixos suggereixen "unió". El nom reflecteix les connexions profundes entre estructures complexes i simplèctiques.

Segons el teorema de Darboux, les varietats simplèctiques són localment isomorfes a l'espai vectorial simplèctic estàndard. Per tant, només tenen invariants globals (topològics). El terme "topologia simplèctica" sovint s'utilitza indistintament amb "geometria simplèctica".

Visió general El nom "grup complex" que abans defensava en al·lusió als complexos lineals, tal com es defineixen per la desaparició de les formes bilineals antisimètriques, s'ha tornat cada cop més vergonyós a causa de la col·lisió amb la paraula "complex" en la connotació de nombre complex. Per tant, proposo substituir-lo per l'adjectiu grec corresponent "simplectic". Dickson va anomenar el grup "grup lineal abelià" en homenatge a Abel, que el va estudiar per primera vegada.

Weyl (1939, p. 165)

Una geometria simplèctica es defineix en un espai llis de dimensió parell que és una varietat diferenciable. En aquest espai es defineix un objecte geomètric, la 2-forma simplèctica, que permet mesurar les mides dels objectes bidimensionals de l'espai. La forma simplèctica en la geometria simplèctica juga un paper anàleg al del tensor mètric en la geometria riemanniana. On el tensor mètric mesura longituds i angles, la forma simplèctica mesura àrees orientades.

La geometria simplèctica va sorgir de l'estudi de la mecànica clàssica i un exemple d'una estructura simplèctica és el moviment d'un objecte en una dimensió. Per especificar la trajectòria de l'objecte, es necessiten tant la posició q com el moment p, que formen un punt (p, q) en el pla euclidià. En aquest cas, la forma simplèctica és

i és una forma d'àrea que mesura l'àrea A d'una regió S en el pla mitjançant la integració:

L'àrea és important perquè, a mesura que els sistemes dinàmics conservatius evolucionen en el temps, aquesta àrea és invariant.

Les geometries simplèctiques de dimensions superiors es defineixen de manera anàloga. Una geometria simplèctica de 2 n dimensions està formada per parells de direccions

en una varietat 2 n- dimensional juntament amb una forma simplèctica

Aquesta forma simplèctica dóna la mida d'una regió V de 2 n dimensions a l'espai com la suma de les àrees de les projeccions de V sobre cadascun dels plans formats pels parells de direccions

Comparació amb la geometria riemanniana La geometria riemanniana és l'estudi de varietats diferenciables equipades amb 2-tensors simètrics no degenerats (anomenats tensors mètrics). La geometria simplèctica té diverses similituds i diferències amb la geometria riemanniana.

A diferència del cas riemanniano, les varietats simplèctiques no tenen invariants locals com la curvatura. Això és una conseqüència del teorema de Darboux, que estableix que un veïnat de qualsevol punt d'una varietat simplèctica de 2 n dimensions és isomorfa a l'estructura simplèctica estàndard en un conjunt obert de .

Una altra diferència amb la geometria riemanniana és que no totes les varietats diferenciables poden admetre una forma simplèctica; hi ha certes restriccions topològiques. Per exemple, totes les varietats simplèctiques són de dimensió parell i orientables. A més, si M és una varietat simplèctica tancada, aleshores el segon grup de cohomologia de de Rham H2 ( M) és no trivial (encara més, tots els grups de cohomologia de dimensió parell són no trivials); això implica, per exemple, que l'única n- esfera que admet una forma simplèctica és la 2-esfera.

Un paral·lelisme que es pot establir entre els dos temes és l'analogia entre les geodèsiques en la geometria riemanniana i les corbes pseudoholomorfes en la geometria simplèctica. Les geodèsiques són corbes de longitud més curta (localment), mentre que les corbes pseudoholomorfes són superfícies d'àrea mínima. Ambdós conceptes tenen un paper fonamental en les seves respectives disciplines.

Exemples i estructures Cada varietat de Kähler és també una varietat simplèctica. Fins ben entrats els anys 70, els experts en simplèctica no estaven segurs de si existien varietats simplèctiques compactes que no fossin de Kähler, però des de llavors s'han construït molts exemples (el primer va ser degut a William Thurston); en particular, Robert Gompf ha demostrat que cada grup finitament presentat es produeix com a grup fonamental d'alguna 4-varietat simplèctica, en marcat contrast amb el cas de Kähler.

Es pot dir que la majoria de les varietats simplèctiques no són de Kähler; i per tant no tenen una estructura complexa integrable compatible amb la forma simplèctica. Mikhail Gromov, però, va fer la important observació que les varietats simplèctiques admeten una abundància d'estructures gairebé complexes compatibles, de manera que satisfan tots els axiomes per a una varietat de Kähler excepte el requisit que les aplicacions de transició siguin holomorfes.

Gromov va utilitzar l'existència d'estructures gairebé complexes en varietats simplèctiques per desenvolupar una teoria de corbes pseudoholomòrfiques, que ha conduït a diversos avenços en la topologia simplèctica, incloent-hi una classe d'invariants simplèctics ara coneguts com a invariants de Gromov-Witten. Més tard, utilitzant la tècnica de la corba pseudoholomòrfa, Andreas Floer va inventar una altra eina important en geometria simplèctica coneguda com a homologia de Floer.

Referències

Categoria:Geometria diferencial