En física, l'amortiment de Landau és un mecanisme pel qual les oscil·lacions en un medi carregat (normalment un plasma) s'amorteixen mitjançant interaccions no col·lisionals amb aquest medi.Chen, Francis F. Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion. Second Ed., 1984 Plenum Press, New York. Rep el nom del seu descobridor,Landau, L. "On the vibration of the electronic plasma". JETP 16 (1946), 574. English translation in J. Phys. (USSR) 10 (1946), 25. Reproduced in Collected papers of L.D. Landau, edited and with an introduction by D. ter Haar, Pergamon Press, 1965, p. 445–460; and in Men of Physics: L.D. Landau, Vol. 2, Pergamon Press, D. ter Haar, ed. (1965). el físic soviètic Lev Davidovich Landau (1908–68). A mesura que l'oscil·lació es mou a través del medi amb velocitat de fase Accelerarà partícules lleugerament més lentes i desaccelerarà partícules lleugerament més ràpides; si les primeres superen en nombre les segones (com si l'oscil·lació viatja més ràpid que la velocitat modal d'una distribució de Maxwell-Boltzmann), l'oscil·lació perdrà la seva energia per arrossegar-se i, per tant, s'esmorteirà. Aquest fenomen impedeix que es desenvolupi una inestabilitat i crea una regió d'estabilitat a l'espai de paràmetres. Més tard, Donald Lynden-Bell va argumentar que un fenomen similar s'estava produint en la dinàmica galàctica, on el gas d'electrons que interactuen per forces electroestàtiques es substitueix per un "gas d'estrelles" que interactuen per forces gravitacionals. L'amortiment de Landau es pot manipular exactament en simulacions numèriques com la simulació de partícules en cèl·lula. Malmberg i Wharton van demostrar experimentalment que existia el 1964, gairebé dues dècades després de la seva predicció per Landau el 1946.
Interaccions ona-partícula L'amortiment de Landau es produeix a causa de l'intercanvi d'energia entre una ona electromagnètica amb velocitat de fase i partícules al plasma amb una velocitat aproximadament igual a , que poden interactuar fortament amb l'ona. Aquelles partícules que tenen velocitats lleugerament inferiors a seran accelerades pel camp elèctric de l'ona per moure's amb la velocitat de fase de l'ona, mentre que aquelles partícules amb velocitats lleugerament superiors a es desaccelerarà perdent energia a causa de l'ona: les partícules tendeixen a sincronitzar-se amb l'ona. Això es demostra experimentalment amb un tub d'ona viatgera. miniatura En un plasma magnetohidrodinàmic (MHD) ideal, les velocitats de les partícules sovint es consideren aproximadament una funció de distribució maxwelliana. Si el pendent de la funció és negatiu, el nombre de partícules amb velocitats lleugerament inferiors a la velocitat de fase de l'ona és més gran que el nombre de partícules amb velocitats lleugerament superiors. Per tant, hi ha més partícules que guanyen energia de l'ona que les que la perden a causa de l'ona, cosa que condueix a un amortiment de l'ona. Si, però, el pendent de la funció és positiu, el nombre de partícules amb velocitats lleugerament inferiors a la velocitat de fase de l'ona és menor que el nombre de partícules amb velocitats lleugerament superiors. Per tant, hi ha més partícules que perden energia a causa de l'ona que les que guanyen energia, cosa que condueix a un augment resultant de l'energia de l'ona. Aleshores, l'amortiment de Landau se substitueix pel creixement de Landau.
Interpretació física La teoria matemàtica de l'amortiment de Landau és una mica complexa. Tanmateix, en el cas d'ones amb amplitud finita, hi ha una interpretació física senzilla que, tot i que no és estrictament correcta, ajuda a visualitzar aquest fenomen. miniatura|Els velers (o surfistes) que agafen una onada oceànica s'acceleren i es redueixen a la velocitat de l'onada. És possible imaginar les ones de Langmuir com a ones al mar, i les partícules com a surfistes que intenten atrapar l'onada, tots movent-se en la mateixa direcció. Si el surfista es mou per la superfície de l'aigua a una velocitat lleugerament inferior a la de les ones, finalment serà atrapat i empès per l'onada (guanyant energia), mentre que un surfista que es mou lleugerament més ràpid que una onada empenyirà l'onada a mesura que puja costa amunt (perdent energia a causa de l'onada).
Val a dir que només els surfistes tenen un paper important en aquestes interaccions energètiques amb les onades; una pilota de platja flotant a l'aigua (velocitat zero) pujarà i baixarà a mesura que passa l'onada, sense guanyar gens d'energia. A més, un vaixell que es mou més ràpid que les onades no intercanvia gaire energia amb l'onada. miniatura|Els electrons en un plasma inicialment maxwellià es mouen a través d'un espai de fase unidimensional en presència d'una ona electroestàtica. Una imatge una mica més detallada s'obté considerant les trajectòries de les partícules a l'espai de fase, en el marc de referència de l'ona. Les partícules properes a la velocitat de fase queden atrapades i es veuen obligades a moure's amb els fronts d'ona, a la velocitat de fase. Les partícules que inicialment estaven per sota de la velocitat de fase han estat accelerades, mentre que les partícules que inicialment estaven per sobre de la velocitat de fase han estat desaccelerades. Com que, per a un plasma maxwellià, inicialment hi ha més partícules per sota de la velocitat de fase que per sobre, el plasma ha guanyat energia neta i, per tant, l'ona ha perdut energia.Chen, Francis F. Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion. Second Ed., 1984 Plenum Press, New York.
Una descripció mecànica simple de la dinàmica de partícules proporciona una estimació quantitativa de la sincronització de les partícules amb l'ona. Un enfocament més rigorós mostra que la sincronització més forta es produeix per a partícules amb una velocitat en el marc de l'ona proporcional a la taxa d'amortiment i independent de l'amplitud de l'ona.Escande, D. F., Bénisti, D., Elskens, Y., Zarzoso, D., & Doveil, F. (2018). Basic microscopic plasma physics from N-body mechanics, A tribute to Pierre-Simon de Laplace, Reviews of Modern Plasma Physics, 2, 1-68 Com que l'amortiment de Landau es produeix per a ones amb amplituds arbitràriament petites, això mostra que les partícules més actives en aquest amortiment estan lluny de ser atrapades. Això és natural, ja que l'atrapament implica escales de temps divergents per a aquestes ones (específicament per a una amplitud d'ona ).
Tractament matemàtic Teoria de pertorbacions en un marc vlasovià El tractament teòric comença amb l'equació de Vlasov en el límit no relativista de camp magnètic zero, el conjunt d'equacions de Vlasov-Poisson. Les solucions explícites s'obtenen en el límit d'un petit -camp. La funció de distribució i camp s'amplien en una sèrie: , i es recullen termes d'igual ordre.
Per a primer ordre de les equacions de Vlasov-Poisson, llegiu
Landau va calcularLandau, L. "On the vibration of the electronic plasma". JETP 16 (1946), 574. English translation in J. Phys. (USSR) 10 (1946), 25. Reproduced in Collected papers of L.D. Landau, edited and with an introduction by D. ter Haar, Pergamon Press, 1965, p. 445–460; and in Men of Physics: L.D. Landau, Vol. 2, Pergamon Press, D. ter Haar, ed. (1965). l'ona causada per una pertorbació inicial i va trobar, mitjançant la transformada de Laplace i la integració de contorns, una ona viatgera amortida de la forma amb nombre d'ona i disminució de l'amortiment
Aquí és la freqüència d'oscil·lació del plasma i és la densitat d'electrons. Més tard, Nico van Kampen va demostrar que es pot obtenir el mateix resultat amb la transformada de Fourier. Va mostrar que les equacions de Vlasov-Poisson linealitzades tenen un espectre continu de modes normals singulars, ara coneguts com a modes de van Kampen: Aquí, significa valor principal, és la funció delta (vegeu funció generalitzada) i és la permitivitat del plasma. La descomposició de la pertorbació inicial en aquests modes produeix l'espectre de Fourier de l'ona resultant. L'amortiment s'explica per la barreja de fases d'aquests modes de Fourier amb freqüències lleugerament diferents a prop de .
L'amortiment en un plasma sense col·lisions, però, va plantejar la qüestió de què podria absorbir l'energia. En la teoria de fluids, en què el plasma es modela com un medi dielèctric dispersiu, l'energia de les ones de Langmuir és coneguda: l'energia del camp multiplicada pel factor de Brillouin. Però l'amortiment no es pot derivar en aquest model. Per calcular l'intercanvi d'energia de l'ona amb els electrons ressonants, la teoria del plasma de Vlasov s'ha d'ampliar a segon ordre i sorgeixen problemes sobre condicions inicials adequades i termes seculars. miniatura A la referència s'estudien aquests problemes. Com que els càlculs per a una ona infinita són deficients en segon ordre, s'analitza un paquet d'ones. Es troben condicions inicials de segon ordre que suprimeixen el comportament secular i exciten un paquet d'ones l'energia del qual coincideix amb la teoria de fluids. La figura mostra la densitat d'energia d'un paquet d'ones que viatja a la velocitat de grup, la qual és arrossegada pels electrons que es mouen a la velocitat de fase. L'energia total, l'àrea sota les corbes, es conserva.
El problema de Cauchy per a solucions pertorbatives La teoria matemàtica rigorosa es basa en la resolució del problema de Cauchy per a l'equació d'evolució (aquí l'equació diferencial parcial de Vlasov-Poisson) i la demostració d'estimacions sobre la solució.
Primer, des de Landau s'ha desenvolupat una teoria matemàtica linealitzada força completa.
Anar més enllà de l'equació linealitzada i tractar la no linealitat ha estat un problema de llarga data en la teoria matemàtica de l'amortiment de Landau. Anteriorment, un resultat matemàtic a nivell no lineal era l'existència d'una classe de solucions exponencialment amortides de l'equació de Vlasov-Poisson en un cercle que s'havia demostrat a mitjançant una tècnica de dispersió (aquest resultat s'ha ampliat recentment a). Tanmateix, aquests resultats d'existència no diuen res sobre quines dades inicials podrien conduir a aquestes solucions amortides.
En un article publicat pels matemàtics francesos Cédric Villani i Clément Mouhot, es resol el problema inicial de les dades i s'estableix matemàticament per primera vegada l'amortiment de Landau per a l'equació no lineal de Vlasov. Es demostra que les solucions que comencen en algun veïnat (per a la topologia analítica o de Gevrey) d'una solució estacionària homogènia linealment estable són (orbitalment) estables durant tots els temps i s'amorteixen globalment en el temps. El fenomen de l'amortiment es reinterpreta en termes de transferència de regularitat de com a funció de i , respectivament, en lloc d'intercanvis d'energia. Les variacions a gran escala passen a variacions d'escala cada cop més petita en l'espai de velocitat, corresponents a un desplaçament de l'espectre de Fourier de com a funció de Aquest desplaçament, ben conegut en la teoria lineal, es compleix en el cas no lineal.
Teoria de pertorbacions en un marc de N cossos La descripció mecànica de N cossos, que originalment es considerava impossible, permet un càlcul rigorós de l'amortiment de Landau utilitzant la segona llei del moviment de Newton i les sèries de Fourier.Escande, D. F., Bénisti, D., Elskens, Y., Zarzoso, D., & Doveil, F. (2018). Basic microscopic plasma physics from N-body mechanics, A tribute to Pierre-Simon de Laplace, Reviews of Modern Plasma Physics, 2, 1-68 No cal ni l'equació de Vlasov ni les transformades de Laplace per a aquesta derivació. El càlcul de l'intercanvi d'energia (més precisament de moment) de l'ona amb els electrons es fa de manera similar. Aquest càlcul fa que la interpretació de l'amortiment de Landau com la sincronització de partícules que passen gairebé ressonants sigui intuïtiva.
Referències
Categoria:Ones Categoria:Dinàmica de fluids