Un sistema de coordenades asimètriques, de vegades anomenades coordenades obliqües, és un sistema de coordenades curvilínies on les superfícies de coordenades no són ortogonals,Skew Coordinate System at Mathworld com en les coordenades ortogonals.
Les coordenades asimètriques solen ser més complicades de treballar en comparació amb les coordenades ortogonals, ja que el tensor mètric tindrà components fora de la diagonal diferents de zero, cosa que impedeix moltes simplificacions en fórmules per a l'àlgebra tensorial i el càlcul tensorial. Els components fora de la diagonal diferents de zero del tensor mètric són un resultat directe de la no ortogonalitat dels vectors base de les coordenades, ja que per definició:
on és el tensor mètric i els vectors de base (covariants).
Aquests sistemes de coordenades poden ser útils si la geometria d'un problema encaixa bé en un sistema asimètric. Per exemple, resoldre l'equació de Laplace en un paral·lelogram serà més fàcil quan es faci en coordenades asimètriques adequadament.
Coordenades cartesianes amb un eix inclinat miniatura|Un sistema de coordenades on l'eix x s'ha doblegat cap a l'eix z El cas 3D més simple d'un sistema de coordenades asimètriques modifica un sistema de coordenades cartesianes en un sistema de coordenades afí girant un dels eixos (per exemple, l'eix x) un cert angle. , mentre es manté ortogonal a un dels dos eixos restants. Per a aquest exemple, l'eix x d'una coordenada cartesiana s'ha doblegat cap a l'eix z per , romanent ortogonal a l'eix y.
Àlgebra i quantitats útils Deixa , , i respectivament siguin vectors unitaris al llarg de la , , i eixos. Aquests representen la base covariant; el càlcul dels seus productes escalars dóna el tensor mètric:
on
i
que són quantitats que seran útils més endavant.
La base contravariant ve donada per
La base contravariant no és gaire convenient d'utilitzar, però apareix a les definicions, per la qual cosa s'ha de tenir en compte. Preferirem escriure quantitats respecte a la base covariant.
Com que els vectors base són tots constants, la suma i la resta de vectors seran simplement sumes i restes per components familiars. Ara, siguem
on les sumes indiquen la suma de tots els valors de l'índex (en aquest cas, i = 1, 2, 3). Els components contravariants i covariants d'aquests vectors poden estar relacionats per
de manera que, explícitament,
El producte escalar en termes de components contravariants és llavors
i en termes de components covariants
Càlcul Per definició, el gradient d'una funció escalar f és
on són les coordenades x, y, z indexades. Reconeixent això com un vector escrit en termes de la base contravariant, es pot reescriure:
La divergència d'un vector és
i d'un tensor
El laplacià de f és
i, com que la base covariant és normal i constant, el laplacià vectorial és el mateix que el laplacià per components d'un vector escrit en termes de la base covariant.
Tot i que tant el producte escalar com el gradient són una mica complicats, ja que tenen termes addicionals (en comparació amb un sistema cartesià), l'operador d'advecció que combina un producte escalar amb un gradient resulta molt simple:
que es pot aplicar tant a funcions escalars com a funcions vectorials, component per component quan s'expressa en la base covariant.
Referències
Categoria:Sistemes de coordenades