En mecànica de fluids continus, el tensor velocitat de deformació o tensor de velocitat de deformació és una quantitat física que descriu la velocitat de canvi de la deformació (és a dir, la deformació relativa) d'un material en el veïnatge d'un cert punt, en un cert moment de temps. Es pot definir com la derivada del tensor de deformació respecte al temps, o com el component simètric de la matriu jacobiana (derivada respecte a la posició) de la velocitat del flux. En mecànica de fluids també es pot descriure com el gradient de velocitat, una mesura de com canvia la velocitat d'un fluid entre diferents punts dins del fluid. Tot i que el terme es pot referir a un perfil de velocitat (variació de la velocitat a través de les capes de flux en una canonada), sovint s'utilitza per referir-se al gradient de la velocitat d'un flux respecte a les seves coordenades. El concepte té implicacions en una varietat d'àrees de la física i l'enginyeria, incloent la magnetohidrodinàmica, la mineria i el tractament d'aigües.miniatura|200x200px|Un flux bidimensional que, al punt ressaltat, només té una component de velocitat de deformació, sense velocitat mitjana ni component de rotació.El tensor de velocitat de deformació és un concepte purament cinemàtic que descriu el moviment macroscòpic del material. Per tant, no depèn de la naturalesa del material, ni de les forces i tensions que hi puguin actuar; i s'aplica a qualsevol medi continu, ja sigui sòlid, líquid o gasós.
D'altra banda, per a qualsevol fluid excepte els superfluids, qualsevol canvi gradual en la seva deformació (és a dir, un tensor de velocitat de deformació diferent de zero) dóna lloc a forces viscoses al seu interior, a causa de la fricció entre elements de fluid adjacents, que tendeixen a oposar-se a aquest canvi. En qualsevol punt del fluid, aquestes tensions es poden descriure mitjançant un tensor de tensions viscoses que, gairebé sempre, està completament determinat pel tensor de velocitat de deformació i per certes propietats intrínseques del fluid en aquest punt. Les tensions viscoses també es produeixen en sòlids, a més de la tensió elàstica observada en la deformació estàtica; quan és massa gran per ser ignorada, es diu que el material és viscoelàstic.
Anàlisi dimensional Mitjançant una anàlisi dimensional, es poden determinar les dimensions del gradient de velocitat. Les dimensions de la velocitat són , i les dimensions de la distància són Com que el gradient de velocitat es pot expressar com Per tant, el gradient de velocitat té les mateixes dimensions que aquesta relació, és a dir, .
En mecànica del continu En 3 dimensions, el gradient de la velocitat és un tensor de segon ordre que es pot expressar com la matriu : es pot descompondre en la suma d'una matriu simètrica i una matriu antisimètrica de la següent manera s'anomena tensor de velocitat de deformació i descriu la velocitat d'estirament i cisallament. s'anomena tensor d'espín i descriu la velocitat de rotació.
Relació entre la tensió de cisallament i el camp de velocitats Sir Isaac Newton va proposar que la tensió de cisallament és directament proporcional al gradient de velocitat:
La constant de proporcionalitat, , s'anomena viscositat dinàmica.
Definició formal Considerem un cos material, sòlid o fluid, que flueix i/o es mou a l'espai. Sigui el camp de velocitats dins del cos; és a dir, una funció suau de tal que sigui la velocitat macroscòpica del material que passa pel punt en el temps .
La velocitat en un punt desplaçat de per un petit vector es pot escriure com una sèrie de Taylor: on és el gradient del camp de velocitats, entès com una aplicació lineal que pren un vector de desplaçament fins al canvi corresponent en la velocitat.
En un marc de referència arbitrari, ∇v està relacionada amb la matriu jacobiana del camp, és a dir, en 3 dimensions és la matriu 3 × 3on vi és la component de v paral·lela a l'eix i i ∂jf denota la derivada parcial d'una funció f respecte a la coordenada espacial xj. Cal tenir en compte que J és una funció de p i t.
En aquest sistema de coordenades, l'aproximació de Taylor per a la velocitat prop de és o simplement
si i es consideren com a 3 × 1 matrius.
Parts simètriques i antisimètriques
Qualsevol matriu es pot descompondre en la suma d'una matriu simètrica i una matriu antisimètrica. Aplicant això a la matriu jacobiana amb components simètrics i antisimètrics i respectivament:
Aquesta descomposició és independent del sistema de coordenades i, per tant, té significat físic. Aleshores, el camp de velocitats es pot aproximar com és a dir,
El terme antisimètric representa una rotació rígida del fluid al voltant del punt . La seva velocitat angular és
El producte s'anomena vorticitat del camp vectorial. Una rotació rígida no canvia les posicions relatives dels elements del fluid, de manera que el terme antisimètric del gradient de velocitat no contribueix a la taxa de canvi de la deformació. Per tant, la taxa de deformació real es descriu pel terme simètric , que és el tensor de la taxa de deformació.
Velocitat de cisallament i velocitat de compressió El terme simètric (el tensor de la velocitat de deformació) es pot descompondre encara més com la suma d'un escalar multiplicat pel tensor unitari, que representa una expansió o contracció isotròpica gradual; i un tensor simètric sense traça que representa una deformació de cisallament gradual, sense canvi de volum:
És a dir, Aquí és el tensor unitari, de manera que és 1 si i 0 si . Aquesta descomposició és independent de l'elecció del sistema de coordenades i, per tant, és físicament significativa.
La traça del tensor de la taxa d'expansió és la divergència del camp de velocitats: que és la velocitat a la qual augmenta el volum d'una quantitat fixa de fluid en aquest punt.
El tensor de taxa de cisallament es representa mitjançant un 3 simètric × 3 matriu, i descriu un flux que combina fluxos de compressió i expansió al llarg de tres eixos ortogonals, de manera que no hi ha cap canvi de volum. Aquest tipus de flux es produeix, per exemple, quan una tira de goma s'estira estirant-la pels extrems, o quan la mel cau d'una cullera com un raig suau i ininterromput.
Per a un flux bidimensional, la divergència de només té dos termes i quantifica el canvi d'àrea en lloc del volum. El factor 1/3 en el terme de la taxa d'expansió s'hauria de substituir per 1/2.
Exemples L'estudi dels gradients de velocitat és útil per analitzar materials dependents de la trajectòria i en l'estudi posterior de tensions i deformacions; per exemple, la deformació plàstica dels metalls. El gradient de velocitat propera a la paret dels reactius no cremats que flueixen d'un tub és un paràmetre clau per caracteritzar l'estabilitat de la flama. El gradient de velocitat d'un plasma pot definir condicions per a les solucions d'equacions fonamentals en magnetohidrodinàmica.
Fluid en una canonada Considereu el camp de velocitat d'un fluid que flueix a través d'una canonada. La capa de fluid en contacte amb la canonada tendeix a estar en repòs respecte a la canonada. Això s'anomena condició de no lliscament. Si la diferència de velocitat entre les capes de fluid al centre de la canonada i als costats de la canonada és prou petita, aleshores el flux de fluid s'observa en forma de capes contínues. Aquest tipus de flux s'anomena flux laminar.
La diferència de velocitat de flux entre capes adjacents es pot mesurar en termes d'un gradient de velocitat, donat per On és la diferència de velocitat de flux entre les dues capes i és la distància entre les capes.
Referències
Categoria:Física