En mecànica del continu, la teoria de deformacions finites —també anomenada teoria de grans deformacions o teoria de grans deformacions— tracta les deformacions en què les deformacions i/o rotacions són prou grans per invalidar els supòsits inherents a la teoria de deformacions infinitesimals. En aquest cas, les configuracions no deformades i deformades del continu són significativament diferents, cosa que requereix una distinció clara entre elles. Aquest és el cas habitual dels elastòmers, materials que es deformen plàsticament i altres fluids i teixits tous biològics.

Camp de desplaçament miniatura|Desplaçament d'un cos continu, des d'una configuració de referència fins a la configuració actual. Mecànica de continus. El desplaçament d'un cos té dos components: un desplaçament de cos rígid i una deformació.

Un desplaçament de cos rígid consisteix en una translació i rotació del cos sense canviar-ne la forma ni la mida.

La deformació implica el canvi de forma i/o mida del cos des d'una configuració inicial o no deformada Ko(B) a una configuració actual o deformada Kt(B) (Figura 1).

Un canvi en la configuració d'un cos continu es pot descriure mitjançant un camp de desplaçament. Un camp de desplaçament és un camp vectorial de tots els vectors de desplaçament per a totes les partícules del cos, que relaciona la configuració deformada amb la configuració no deformada. La distància entre dues partícules canvia si i només si s'ha produït una deformació. Si el desplaçament es produeix sense deformació, aleshores és un desplaçament de cos rígid.

Tensor de gradient de deformació El tensor del gradient de deformació és una quantitat relacionada tant amb la configuració de referència com amb la configuració actual, i expressa el moviment localment al voltant d'un punt. Es poden definir dos tipus de tensor del gradient de deformació. miniatura|Deformació d'un cos continu des d'una configuració no deformada fins a una configuració deformada. Per a articles relacionats amb la deformació i la deformació (mecànica), és a dir, Mecànica de Contínues. El tensor del gradient de deformació del material és un tensor de segon ordre que representa el gradient de la funció de mapatge suau i invertible , que descriu el moviment d'un continu. En particular, la continuïtat de la funció de mapatge implica que les esquerdes i els buits no s'obren ni es tanquen durant la deformació. El tensor del gradient de deformació del material caracteritza la deformació local en un punt material amb un vector de posició , és a dir, deformació en punts veïns, transformant (transformació lineal) un element de línia material que emana d'aquest punt des de la configuració de referència fins a la configuració actual o deformada. Així tenim,

Suposant que té una inversa suau, té la inversa , que és el tensor del gradient de deformació espacial. ser invertible és equivalent a , la qual cosa correspon a la idea que el material no es pot comprimir infinitament.

Vector de desplaçament relatiu Considereu una partícula o un punt material amb vector de posició en la configuració no deformada (Figura 2). Després d'un desplaçament del cos, la nova posició de la partícula indicada per en la nova configuració ve donada per la posició del vector Els sistemes de coordenades per a la configuració no deformada i deformada es poden superposar per conveniència.

Considerem ara un punt material veí , amb vector de posició En la configuració deformada, aquesta partícula té una nova posició donat pel vector de posició . Suposant que els segments de línia i unint les partícules i tant en la configuració no deformada com en la deformada, respectivament, siguin molt petites, aleshores les podem expressar com i Així, a partir de la Figura 2 tenim on és el vector de desplaçament relatiu, que representa el desplaçament relatiu de respecte a en la configuració deformada.

Aproximació de Taylor Per a un element infinitesimal , i assumint continuïtat en el camp de desplaçament, és possible utilitzar una expansió en sèrie de Taylor al voltant del punt , descuidant els termes d'ordre superior, per aproximar els components del vector de desplaçament relatiu per a la partícula veïna com Així, l'equació anterior es pot escriure com

Derivada temporal del gradient de deformació Els càlculs que impliquen la deformació dependent del temps d'un cos sovint requereixen que es calculi una derivada temporal del gradient de deformació. Una definició geomètricament consistent d'aquesta derivada requereix una excursió a la geometria diferencial,A. Yavari, J.E. Marsden, and M. Ortiz, On spatial and material covariant balance laws in elasticity, Journal of Mathematical Physics, 47, 2006, 042903; p. 1–53. però evitem aquests problemes en aquest article.

La derivada temporal de és on és la velocitat (del material). La derivada del costat dret representa un gradient de velocitat del material. És habitual convertir-ho en un gradient espacial aplicant la regla de la cadena per a les derivades, és a dir, on és el gradient de velocitat espacial i on és la velocitat espacial (euleriana) a Si el gradient de velocitat espacial és constant en el temps, l'equació anterior es pot resoldre exactament per obtenir assumint a Hi ha diversos mètodes per calcular l'exponencial anterior.

Les magnituds relacionades que s'utilitzen sovint en la mecànica del continu són el tensor de la taxa de deformació i el tensor d'espín definits, respectivament, com: El tensor de la taxa de deformació dóna la taxa d'estirament dels elements lineals, mentre que el tensor d'espín indica la taxa de rotació o vorticitat del moviment.

La derivada material-temps de la inversa del gradient de deformació (mantenint fixa la configuració de referència) sovint es requereix en anàlisis que impliquen deformacions finites. Aquesta derivada és La relació anterior es pot verificar prenent la derivada material en el temps de i tenint en compte que .

Descomposició polar del tensor del gradient de deformació miniatura|Figura 3. Representació de la descomposició polar del gradient de deformació El gradient de deformació , com qualsevol tensor de segon ordre invertible, es pot descompondre, utilitzant el teorema de descomposició polar, en un producte de dos tensors de segon ordre (Truesdell i Noll, 1965): un tensor ortogonal i un tensor simètric definit positiu, és a dir, on el tensor és un tensor ortogonal propi, és a dir, i , que representa una rotació; el tensor és el tensor d'estirament dret ; i el tensor d'estirament esquerre. Els termes dreta i esquerra signifiquen que estan a la dreta i a l'esquerra del tensor de rotació , respectivament. i són tots dos definits positius, és a dir, i per a tots els diferents de zero , i tensors simètrics, és a dir i , de segon ordre.

Aquesta descomposició implica que la deformació d'un element de línia en la configuració no deformada sobre en la configuració deformada, és a dir, , es pot obtenir estirant primer l'element mitjançant , és a dir , seguit d'una rotació , és a dir, ; o equivalentment, aplicant una rotació rígida primer, és a dir, , seguit més tard d'un estirament , és a dir, (Vegeu la figura 3).

A causa de l'ortogonalitat de de manera que i tenen els mateixos valors propis o trams principals, però vectors propis o direccions principals diferents i , respectivament. Les direccions principals estan relacionades per Aquesta descomposició polar, que és única com

és invertible amb un determinant positiu, és un corol·lari de la descomposició en valors singulars.

Transformació d'un element de superfície i volum Per transformar quantitats que es defineixen respecte a àrees en una configuració deformada a quantitats relatives a àrees en una configuració de referència, i viceversa, utilitzem la relació de Nanson, expressada com on és una àrea d'una regió en la configuració deformada, és la mateixa àrea a la configuració de referència, i és la normal exterior a l'element d'àrea en la configuració actual mentre és la normal exterior en la configuració de referència, és el gradient de deformació, i .

La fórmula corresponent per a la transformació de l'element de volum és

Tensors de deformació fonamentals La IUPAC defineix un tensor de deformació com:

"Un tensor simètric que resulta quan un tensor de gradient de deformació es factoritza en un tensor de rotació seguit o precedit per un tensor simètric".

Com que una rotació pura no hauria d'induir cap deformació en un cos deformable, sovint és convenient utilitzar mesures de deformació independents de la rotació en mecànica contínua. Com que una rotació seguida de la seva rotació inversa no produeix cap canvi ( ) podem excloure la rotació multiplicant el tensor del gradient de deformació per la seva transposició.

En mecànica s'utilitzen diversos tensors de gradient de deformació independents de la rotació (o "tensors de deformació", per abreujar). En mecànica de sòlids, els més populars són els tensors de deformació de Cauchy-Green per a la dreta i per a l'esquerra.

Tensor de deformació de Cauchy (tensor de deformació de Cauchy-Green a la dreta) El 1839, George Green va introduir un tensor de deformació conegut com a tensor de deformació de Cauchy-Green dret o tensor de deformació de Green (la IUPAC recomana que aquest tensor s'anomeni tensor de deformació de Cauchy ), definit com:

Físicament, el tensor de Cauchy-Green ens dóna el quadrat del canvi local de distàncies a causa de la deformació, és a dir,

Invariants de s'utilitzen sovint en les expressions per a les funcions de densitat d'energia de deformació. Els invariants més utilitzats són on és el determinant del gradient de deformació i són les relacions d'estirament per a les fibres unitàries que inicialment estan orientades al llarg de les direccions del vector propi del tensor d'estirament dret (de referència) (aquestes generalment no estan alineades amb els tres eixos dels sistemes de coordenades).

Tensor de tensió dels dits La IUPAC recomana que l'invers del tensor de deformació de Cauchy-Green a la dreta (anomenat tensor de deformació de Cauchy en aquest document), és a dir, , s'anomena tensor de deformació de Finger. Tanmateix, aquesta nomenclatura no és universalment acceptada en mecànica aplicada.

Tensor de deformació de Green (tensor de deformació de Cauchy-Green esquerre) Si inverteixes l'ordre de multiplicació a la fórmula del tensor de deformació de Cauchy-Green a la dreta, obtindràs el tensor de deformació de Cauchy-Green a l'esquerra, que es defineix com:

El tensor de deformació de Cauchy-Green esquerre sovint s'anomena tensor de deformació de Finger, que rep el nom de Josef Finger (1894).Eduardo N. Dvorkin, Marcela B. Goldschmit, 2006 Nonlinear Continua, p. 25, Springer .

La IUPAC recomana que aquest tensor s'anomeni tensor de deformació de Green.

Invariants de també s'utilitzen en les expressions per a les funcions de densitat d'energia de deformació. Els invariants convencionals es defineixen com on és el determinant del gradient de deformació.

Per a materials compressibles, s'utilitza un conjunt d'invariants lleugerament diferent:

Tensor de deformació de Piola (tensor de deformació de Cauchy) A principis de 1828,Jirásek,Milan; Bažant, Z. P. (2002) Inelastic analysis of structures, Wiley, p. 463 Augustin-Louis Cauchy va introduir un tensor de deformació definit com l'invers del tensor de deformació de Cauchy-Green per l'esquerra, Aquest tensor també ha estat anomenat tensor de deformació de Piola per la IUPAC i tensor de FingerJ. N. Reddy, David K. Gartling (2000) The finite element method in heat transfer and fluid dynamics, p. 317, CRC Press . a la literatura de reologia i dinàmica de fluids.

Representació espectral Si hi ha tres trams principals diferents , les descomposicions espectrals de i ve donat per

A més,

Observeu que